¿Qué es Subsucesión?

Ejemplo 11.15 (Límites de subsucesiones)

Para $u_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$: la subsucesión par tiende a $1$ y la impar a $-1$, luego la sucesión diverge — pero lo hace de manera organizada, agrupándose en torno a los dos valores $\pm 1$. Para $u_n = \cos\frac{2\pi n}{3}$: las tres subsucesiones de índices $3k$, $3k + 1$, $3k + 2$ son constantes, iguales a $1$, $-\frac12$, $-\frac12$; el conjunto de límites de subsucesiones es $\{1, -\frac12\}$. La idea de cierre: una sucesión acotada converge exactamente cuando tiene un único límite de subsucesión (Ejercicio 11.8); la divergencia de una sucesión acotada significa siempre al menos dos grupos, y Bolzano–Weierstrass, más abajo, garantiza que hay al menos uno.