O que é Subsequência?

Exemplo 11.15 (Limites subsequenciais)

Para $u_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$: a subsequência de índices pares tende a $1$, e a de índices ímpares a $-1$, de modo que a sequência diverge — mas o faz de maneira organizada, agrupando-se em torno dos dois valores $\pm 1$. Para $u_n = \cos\frac{2\pi n}{3}$: as três subsequências de índices $3k$, $3k + 1$ e $3k + 2$ são constantes, iguais a $1$, $-\frac12$ e $-\frac12$; o conjunto dos limites subsequenciais é $\{1, -\frac12\}$. A ideia de fechamento: uma sequência limitada converge exatamente quando tem um único limite subsequencial (Exercício 11.8); a divergência de uma sequência limitada sempre significa ao menos dois agrupamentos, e Bolzano–Weierstrass, abaixo, garante que existe ao menos um.