Qu'est-ce que « Suite extraite » ?

Exemple 11.15 (Valeurs d’adhérence)

Pour $u_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$ : la suite extraite des indices pairs tend vers $1$, celle des indices impairs vers $-1$, donc la suite diverge — mais elle le fait de façon organisée, en s’agglutinant autour des deux valeurs $\pm 1$. Pour $u_n = \cos\frac{2\pi n}{3}$ : les trois suites extraites d’indices $3k$, $3k + 1$, $3k + 2$ sont constantes, égales à $1$, $-\frac12$, $-\frac12$ ; l’ensemble des valeurs d’adhérence est $\{1, -\frac12\}$. L’idée à retenir : une suite bornée converge exactement lorsqu’elle a une unique valeur d’adhérence (l’Exercice 11.8) ; la divergence d’une suite bornée signifie toujours au moins deux paquets, et Bolzano–Weierstrass ci-dessous garantit qu’il y en a au moins un.