योग्य कुल क्या है?

उदाहरण 7.10 (विकर्ण गिनती से योग्यता)

किन $s > 0$ के लिए कुल $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$ योग्य है? परिमित आंशिक योगों को विकर्णों $m + n = k$ के अनुसार समूहबद्ध कीजिए: विकर्ण $k$ पर $k - 1$ युग्म हैं और हर एक $k^{-s}$ का योगदान देता है, अतः परिमित योग ठीक

से परिबद्ध हैं (और उसे पूरा भी कर देते हैं) — यह धनात्मक पदों वाली श्रेणी है जो $k^{1-s}$ के समतुल्य है: अतः योग्य तभी जब $s - 1 > 1$, अर्थात् $s > 2$। द्विविमीय सूचकांक पूरी एक घात खा जाता है: पदों का कोई समतल किसी रेखा से “एक विमा अधिक अपसारी” होता है — और योग्यता का निर्णय सूचकांक समुच्चय की गिनती-ज्यामिति करती है, अलग-अलग पदों का आकार नहीं। (इसी जनगणना से यह भी दिखता है कि $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ योग्य नहीं है: विकर्ण $m + n = k$ पर हर पद कम से कम $k^{-2}$ है, और $(k-1)\cdot k^{-2}$ हरात्मक श्रेणी की तरह जुड़ता है।)

उदाहरण 7.12 (रंगे हाथ पकड़ा गया एक पुनर्विन्यास)

एकांतर हरात्मक श्रेणी का योग $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ है (प्रथम वर्ष का खंड)। उसे “एक धनात्मक, दो ऋणात्मक” के रूप में पुनर्विन्यस्त कीजिए:

तीन-तीन के हर खंड को समूहबद्ध करने पर

अतः पुनर्विन्यस्त श्रेणी $\frac12\ln 2$ पर अभिसरित होती है — अर्थात् मूल योग का आधा, और वह भी ठीक उन्हीं पदों से। जो श्रेणियाँ निरपेक्ष रूप से अभिसारी नहीं हैं वे अपने पदों का क्रम याद रखती हैं; और योग्य कुल ठीक वे हैं जो नहीं रखते।

उदाहरण 7.17 (एक दोहरे योग का मूल्यांकन)

वास्तविक $s > 1$ के लिए $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ लीजिए। दोहरे योग से भाजक गिनने पर — $(m,n) \in (\N^*)^2$ पर कुल $(m^{-s}n^{-s})$ योग्य है (अभिसारी धनात्मक श्रेणियों का गुणन) — और गुणनफल $q = mn$ के अनुसार समूहबद्ध करने पर:

जहाँ $d(q)$ $q$ के भाजकों की संख्या है। योग्य कुल संचयशास्त्र को विश्लेषण में बदल देते हैं।