Wat is sommeerbare familie?

Voorbeeld 7.10 (Sommeerbaarheid door diagonalen te tellen)

Voor welke $s > 0$ is de familie $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$ sommeerbaar? Groepeer de eindige partiële sommen naar de diagonalen $m + n = k$: de diagonaal $k$ draagt $k - 1$ paren, elk met bijdrage $k^{-s}$, dus worden de eindige sommen precies begrensd door (en uitgeput door)

een reeks met positieve termen die equivalent is met $k^{1-s}$: sommeerbaar dan en slechts dan als $s - 1 > 1$, dat wil zeggen $s > 2$. De tweedimensionale index vreet een volle macht op: een vlak van termen is “één dimensie divergenter” dan een rechte — de teltmeetkunde van de indexverzameling, niet de grootte van de afzonderlijke termen, beslist over de sommeerbaarheid. (Dezelfde telling laat zien dat $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ niet sommeerbaar is: op de diagonaal $m + n = k$ is elke term minstens $k^{-2}$, en $(k-1)\cdot k^{-2}$ sommeert als de harmonische reeks.)

Voorbeeld 7.12 (Een herschikking op heterdaad betrapt)

De alternerende harmonische reeks heeft som $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ (volume van bachelorjaar 1). Herschik haar als “één positieve, twee negatieve”:

Groeperen we per blok van drie, dan is

zodat de herschikte reeks naar $\frac12\ln 2$ convergeert — de helft van de oorspronkelijke som, met precies dezelfde termen. Niet-absoluut convergente reeksen onthouden de volgorde van hun termen; sommeerbare families zijn juist die welke dat niet doen.

Voorbeeld 7.17 (Een dubbelsom uitgerekend)

Zij voor reële $s > 1$ de waarde $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$. Delers tellen met een dubbele sommatie — de familie $(m^{-s}n^{-s})$ over $(m,n) \in (\N^*)^2$ is sommeerbaar (een product van convergente positieve reeksen) — en groeperen naar het product $q = mn$ geeft

waarbij $d(q)$ het aantal delers van $q$ is. Sommeerbare families maken van combinatoriek analyse.