Qu'est-ce que « famille sommable » ?

Exemple 7.10 (Sommabilité par comptage diagonal)

Pour quels $s > 0$ la famille $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$ est-elle sommable ? Regroupons les sommes partielles finies par diagonales $m + n = k$ : la diagonale $k$ porte $k - 1$ couples, contribuant chacun $k^{-s}$, de sorte que les sommes finies sont exactement bornées par (et épuisent)

une série à termes positifs équivalente à $k^{1-s}$ : sommable si et seulement si $s - 1 > 1$, c’est-à-dire $s > 2$. L’indice bidimensionnel dévore une puissance entière : un plan de termes est « divergent d’une dimension de plus » qu’une droite — c’est la géométrie de comptage de l’ensemble d’indices, et non la taille des termes individuels, qui décide de la sommabilité. (Le même recensement montre que $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ n’est pas sommable : sur la diagonale $m + n = k$, chaque terme vaut au moins $k^{-2}$, et $(k-1)\cdot k^{-2}$ se somme comme la série harmonique.)

Exemple 7.12 (Un réordonnancement pris la main dans le sac)

La série harmonique alternée a pour somme $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ (volume de Licence 1). Réordonnons-la en « un positif, deux négatifs » :

En regroupant chaque bloc de trois,

de sorte que la série réordonnée converge vers $\frac12\ln 2$ — la moitié de la somme initiale, avec exactement les mêmes termes. Les séries non absolument convergentes se souviennent de l’ordre de leurs termes ; les familles sommables sont précisément celles qui ne s’en souviennent pas.

Exemple 7.17 (Une évaluation de somme double)

Pour $s > 1$ réel, posons $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$. En comptant les diviseurs par sommation double — la famille $(m^{-s}n^{-s})$ sur $(m,n) \in (\N^*)^2$ est sommable (produit de séries positives convergentes) — et en regroupant par le produit $q = mn$ :

où $d(q)$ est le nombre de diviseurs de $q$. Les familles sommables transforment la combinatoire en analyse.