¿Qué es familia sumable?

Ejemplo 7.10 (Sumabilidad por recuento diagonal)

¿Para qué $s > 0$ es sumable la familia $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$? Agrupemos las sumas parciales finitas por diagonales $m + n = k$: la diagonal $k$ contiene $k - 1$ pares, cada uno aportando $k^{-s}$, de modo que las sumas finitas están acotadas exactamente por (y agotan)

serie de términos positivos equivalente a $k^{1-s}$: sumable si y solo si $s - 1 > 1$, es decir, $s > 2$. El índice bidimensional se come una potencia entera: un plano de términos es “una dimensión más divergente” que una recta; quien decide la sumabilidad es la geometría de recuento del conjunto de índices, no el tamaño de cada término. (El mismo censo muestra que $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ no es sumable: sobre la diagonal $m + n = k$ cada término es al menos $k^{-2}$, y $(k-1)\cdot k^{-2}$ suma como la serie armónica.)

Ejemplo 7.12 (Una reordenación pillada in fraganti)

La serie armónica alternada suma $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ (volumen del primer año). Reordenémosla como “un positivo, dos negativos”:

Agrupando cada bloque de tres,

de modo que la serie reordenada converge a $\frac12\ln 2$: la mitad de la suma original, con exactamente los mismos términos. Las series convergentes no absolutamente recuerdan el orden de sus términos; las familias sumables son precisamente las que no.

Ejemplo 7.17 (Evaluación de una suma doble)

Para $s > 1$ real, sea $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$. Contando divisores mediante sumación doble —la familia $(m^{-s}n^{-s})$ sobre $(m,n) \in (\N^*)^2$ es sumable (producto de series positivas convergentes)— y agrupando por el producto $q = mn$:

donde $d(q)$ es el número de divisores de $q$. Las familias sumables convierten la combinatoria en análisis.