Apa itu keluarga terjumlahkan?

Contoh 7.10 (Keterjumlahan lewat pencacahan diagonal)

Untuk $s > 0$ yang mana keluarga $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$ terjumlahkan? Kelompokkan jumlah parsial hingganya menurut diagonal $m + n = k$: diagonal ke-$k$ mengusung $k - 1$ pasangan, yang masing-masing menyumbang $k^{-s}$, jadi jumlah hingganya tepat terbatas oleh (dan menghabiskan)

yakni deret bersuku positif yang setara dengan $k^{1-s}$: jadi terjumlahkan bila dan hanya bila $s - 1 > 1$, yakni $s > 2$. Indeks berdimensi dua memakan satu pangkat penuh: sebuah bidang suku “lebih divergen satu dimensi” daripada sebuah garis — jadi geometri pencacahan himpunan indeksnya, bukan besarnya tiap suku, yang memutuskan keterjumlahannya. (Pencacahan yang sama menunjukkan $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ tidak terjumlahkan: pada diagonal $m + n = k$, tiap sukunya sedikitnya $k^{-2}$, dan $(k-1)\cdot k^{-2}$ berjumlah seperti deret harmonik.)

Contoh 7.12 (Sebuah penataan ulang tertangkap basah)

Deret harmonik berselang-seling berjumlah $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ (jilid Tahun ke-1). Tatalah ulang sebagai “satu positif, dua negatif”:

Setelah tiap blok bertiganya dikelompokkan,

maka deret yang ditata ulang itu konvergen ke $\frac12\ln 2$ — separuh jumlah asalnya, dengan suku yang persis sama. Deret yang tidak konvergen mutlak mengingat urutan sukunya; sedangkan keluarga terjumlahkan justru yang tidak mengingatnya.

Contoh 7.17 (Sebuah penilaian jumlah ganda)

Untuk $s > 1$ yang real, misalkan $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$. Dengan mencacah pembagi lewat penjumlahan ganda — keluarga $(m^{-s}n^{-s})$ atas $(m,n) \in (\N^*)^2$ terjumlahkan (sebab hasil kali deret positif yang konvergen) — lalu mengelompokkannya menurut hasil kali $q = mn$:

dengan $d(q)$ menyatakan banyaknya pembagi $q$. Keluarga terjumlahkan mengubah kombinatorika menjadi analisis.