Apa itu keluarga terjumlahkan? — Matematika

Definisi 7.8 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 7 — Barisan dan Deret

Misalkan $I$ himpunan indeks yang terbilang. Sebuah keluarga $(u_i)_{i \in I}$ berisi bilangan real tak negatif disebut terjumlahkan apabila jumlah parsial hingganya terbatas; jumlahnya adalah

\sum_{i \in I} u_i = \sup_{F \subseteq I \text{ hingga}} \sum_{i \in F} u_i \in \intcc{0}{+\infty} .

Sebuah keluarga bilangan real atau kompleks (atau vektor Banach) disebut terjumlahkan apabila $(\norm{u_i})$ demikian; jumlahnya lalu ditetapkan dengan memecahnya menjadi bagian positif dan negatif (atau bagian real dan imajiner) — setara dengan itu, sebagai nilai bersama $\sum_{n} u_{\sigma(n)}$ atas semua pencacahan $\sigma$ bagi $I$ (lihat di bawah).

Contoh

Contoh 7.10 (Keterjumlahan lewat pencacahan diagonal)

Untuk $s > 0$ yang mana keluarga $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$ terjumlahkan? Kelompokkan jumlah parsial hingganya menurut diagonal $m + n = k$ : diagonal ke- $k$ mengusung $k - 1$ pasangan, yang masing-masing menyumbang $k^{-s}$ , jadi jumlah hingganya tepat terbatas oleh (dan menghabiskan)

\sum_{k \geq 2} \frac{k - 1}{k^{s}} ,

yakni deret bersuku positif yang setara dengan $k^{1-s}$ : jadi terjumlahkan bila dan hanya bila $s - 1 > 1$ , yakni $s > 2$ . Indeks berdimensi dua memakan satu pangkat penuh: sebuah bidang suku “lebih divergen satu dimensi” daripada sebuah garis — jadi geometri pencacahan himpunan indeksnya, bukan besarnya tiap suku, yang memutuskan keterjumlahannya. (Pencacahan yang sama menunjukkan $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ tidak terjumlahkan: pada diagonal $m + n = k$ , tiap sukunya sedikitnya $k^{-2}$ , dan $(k-1)\cdot k^{-2}$ berjumlah seperti deret harmonik.)

Contoh 7.12 (Sebuah penataan ulang tertangkap basah)

Deret harmonik berselang-seling berjumlah $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ (jilid Tahun ke-1). Tatalah ulang sebagai “satu positif, dua negatif”:

1 - \frac12 - \frac14 + \frac13 - \frac16 - \frac18 + \frac15 - \cdots

Setelah tiap blok bertiganya dikelompokkan,

\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{4k-2} - \frac1{4k} = \frac{1}{4k-2} - \frac{1}{4k} = \frac12\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac1{2k}\Bigr),

maka deret yang ditata ulang itu konvergen ke $\frac12\ln 2$ — separuh jumlah asalnya, dengan suku yang persis sama. Deret yang tidak konvergen mutlak mengingat urutan sukunya; sedangkan keluarga terjumlahkan justru yang tidak mengingatnya.

Contoh 7.17 (Sebuah penilaian jumlah ganda)

Untuk $s > 1$ yang real, misalkan $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ . Dengan mencacah pembagi lewat penjumlahan ganda — keluarga $(m^{-s}n^{-s})$ atas $(m,n) \in (\N^*)^2$ terjumlahkan (sebab hasil kali deret positif yang konvergen) — lalu mengelompokkannya menurut hasil kali $q = mn$ :

\zeta(s)^2 = \sum_{m,n} \frac{1}{(mn)^s} = \sum_{q=1}^{\infty} \frac{d(q)}{q^s},

dengan $d(q)$ menyatakan banyaknya pembagi $q$ . Keluarga terjumlahkan mengubah kombinatorika menjadi analisis.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait