O que é família somável?

Exemplo 7.10 (Somabilidade por contagem em diagonais)

Para quais $s > 0$ a família $\bigl((m + n)^{-s}\bigr)_{m, n \geq 1}$ é somável? Agrupe as somas parciais finitas por diagonais $m + n = k$: a diagonal $k$ carrega $k - 1$ pares, cada um contribuindo com $k^{-s}$, de modo que as somas finitas são exatamente majoradas por (e esgotam)

uma série de termos positivos equivalente a $k^{1-s}$: somável se e somente se $s - 1 > 1$, isto é, $s > 2$. O índice bidimensional come uma potência inteira: um plano de termos é “uma dimensão mais divergente” do que uma reta — é a geometria de contagem do conjunto de índices, e não o tamanho dos termos individuais, que decide a somabilidade. (O mesmo recenseamento mostra que $\bigl((m^2 + n^2)^{-1}\bigr)$ não é somável: na diagonal $m + n = k$, cada termo vale ao menos $k^{-2}$, e $(k-1)\cdot k^{-2}$ soma como a série harmônica.)

Exemplo 7.12 (Uma reordenação pega em flagrante)

A série harmônica alternada soma $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$ (volume do primeiro ano de graduação). Reordene-a como “um positivo, dois negativos”:

Agrupando cada bloco de três,

de modo que a série reordenada converge para $\frac12\ln 2$ — metade da soma original, com exatamente os mesmos termos. As séries não absolutamente convergentes lembram a ordem de seus termos; as famílias somáveis são precisamente as que não lembram.

Exemplo 7.17 (Uma avaliação de soma dupla)

Para $s > 1$ real, seja $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$. Contando os divisores por soma dupla — a família $(m^{-s}n^{-s})$ sobre $(m,n) \in (\N^*)^2$ é somável (produto de séries positivas convergentes) — e agrupando pelo produto $q = mn$:

em que $d(q)$ é o número de divisores de $q$. As famílias somáveis transformam combinatória em análise.