11मैक्सवेल के समीकरण

हल — अभ्यास 11.1.

(क) $\operatorname{div} = 3$, $\operatorname{\vect{curl}} = \vect 0$: अर्थात् $r^2/2$ की प्रवणता। (ख) $0$ और $(0, 0, 2)$: कोई कर्ल ($-\tfrac12(x^2 + y^2)\vect e_z$ का), पर कोई प्रवणता नहीं। (ग) $0$ और $\vect 0$: अर्थात् $xyz$ की प्रवणता (और कोई कर्ल भी)। (घ) $\frac1{r^2}\partial_r(r^2/r^2) = 0$, और कर्ल $\vect 0$: अर्थात् $-1/r$ की प्रवणता। (ङ) $0$ और $(0, -2x, 0)$: कोई कर्ल, पर कोई प्रवणता नहीं।

हल — अभ्यास 11.2.

(क) गाउस और फ़ैराडे: दोनों पक्ष $\mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}$ में (कोई आवेश घनत्व बटा $\varepsilon_0$, कोई क्षेत्र-प्रवणता, कोई क्षेत्र बटा समय); ऐंपियर: दोनों पक्ष $\mathrm{T}/\mathrm{m}$ में। (ख) $1/\sqrt{8.85 \times 10^{-12} \times 1.257 \times 10^{-6}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ग) अनुपात $\varepsilon_0\omega/\gamma$: ताँबा $5 \times 10^{-20}$; $1\,\mathrm{GHz}$ पर समुद्र का पानी $1 \times 10^{-2}$ (बस, अब भी चालक); $50\,\mathrm{Hz}$ पर काँच $3 \times 10^3$: अर्थात् कोई परावैद्युत, जहाँ विस्थापन धारा भारी पड़ती है।

हल — अभ्यास 11.3.

$\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.8 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $j_d = I/\pi R^2 = 16\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $B(5\,\mathrm{cm}) = \mu_0Ir/2\pi R^2 = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$; $B(20\,\mathrm{cm}) = \mu_0I/2\pi r = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ — अर्थात् ठीक तार का क्षेत्र।

हल — अभ्यास 11.4.

(क) $\rho = \varepsilon_0k$। (ख) $\frac1{r^2}\partial_r(\rho_0r^3/3\varepsilon_0) = \rho_0/\varepsilon_0$; और बाहर, गाउस से: $E = \rho_0R^3/3\varepsilon_0r^2$। (ग) $\operatorname{div}\vect B = 0$: हाँ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(B_0/a)\vect e_z$: अतः $\vect j = -(B_0/\mu_0a)\vect e_z$, अर्थात् कोई एकसमान धारा-चादर, जिसकी मोटाई $y$ के अनुदिश है।

हल — अभ्यास 11.5.

(क) $\vect A = \tfrac12(B_yz - B_zy, B_zx - B_xz, B_xy - B_yx)$: $(\operatorname{\vect{curl}} \vect A)_x = \tfrac12(B_x + B_x) = B_x$, इत्यादि; और $\operatorname{div}\vect A = 0$। (ख) $\vect A' - \vect A = \tfrac12B_0(y, x, 0) = \operatorname{\vect{grad}}(\tfrac12B_0xy)$। (ग) $\frac1r\partial_r(Br^2/2) = B$; $\frac1r\partial_r(BR^2/2) = 0$; और दोनों $BR/2$ के बराबर, $R$ पर। (घ) $2\pi r\cdot BR^2/2r = \pi R^2B = \Phi$: अर्थात् परिनालिका के बाहर का कोई पाश, जहाँ $\vect B = \vect 0$, फिर भी $e = -\dd\Phi/\dd t$ अनुभव करता है — $\vect E = -\partial_t\vect A$ से होकर, जो वहाँ लुप्त नहीं होता।

हल — अभ्यास 11.6.

(क) $E = \sigma/\varepsilon_0 = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, अभिलंब। (ख) बीच में $\sigma/\varepsilon_0$, और बाहर शून्य (हर उछाल $\pm\sigma/\varepsilon_0$ जोड़ता है)। (ग) $j_s = nI = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, उछाल $\mu_0j_s = 12.6\,\mathrm{mT} = B$ भीतर। (घ) टोरस के बाहर का कोई पाश कोई कुल धारा नहीं घेरता, अतः वहाँ $B = 0$; और भीतर ऐंपियर $\mu_0NI/2\pi r$ देता है, तथा वेष्टन के दोनों ओर का उछाल, $\mu_0j_s = \mu_0NI/2\pi r$, इससे मेल खाता है।

हल — अभ्यास 11.7.

(क) $V'' = -\rho_0/\varepsilon_0$: $V = -\rho_0x^2/2\varepsilon_0 + (U/d + \rho_0d/2\varepsilon_0)x$। (ख) $E = \rho_0x/\varepsilon_0 - U/d - \rho_0d/2\varepsilon_0$, जो $x_0 = d/2 + \varepsilon_0U/\rho_0d$ पर शून्य है — अर्थात् बड़े आकाश आवेश के लिए लगभग बीच में। (ग) $\sigma(0) = \varepsilon_0E(0^+) = -\varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$, $\sigma(d) = -\varepsilon_0E(d^-) = \varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$: मिलकर $-\rho_0d$, जो आकाश आवेश को उदासीन कर देते हैं। (घ) $\rho_0 = 0$: रैखिक $V$, एकसमान $E$; और $U = 0$: कोई परवलय, जिसका शिखर $d/2$ पर है।

हल — अभ्यास 11.8.

(क) $6000\,\mathrm{km}$, $300\,\mathrm{m}$, $3\,\mathrm{m}$, $12.5\,\mathrm{cm}$। (ख) $f < c/10L$: $300\,\mathrm{MHz}$; $3\,\mathrm{GHz}$; $30\,\mathrm{Hz}$। (ग) $(2\pi \times 10^6 \times 0.05/3 \times 10^8)^2/4 = 3 \times 10^{-7}$। (घ) कड़ाई से यह अर्ध-स्थायी नहीं है: $50\,\mathrm{Hz}$ पर $1000\,\mathrm{km}$ का ग्रिड किसी तरंगदैर्घ्य का छठा भाग है, उस पर कलाएँ भिन्न होती हैं, और लंबी लाइनें संचरण-रेखाओं की तरह बरती जाती हैं — यद्यपि उसका हर स्थानीय परिपथ अर्ध-स्थायी है।

हल — अभ्यास 11.9.

$\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = 0$ $\operatorname{div}\vect j = 0$ माँगता, अर्थात् हर जगह $\partial_t\rho = 0$। प्लेट (आयतन $\pi R^2e$) में धारा $I$ घुसती है और कुछ निकलता नहीं: $\langle\operatorname{div}\vect j\rangle = -I/\pi R^2e = -1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{3}$, $\partial_t\rho = +1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$।

हल — अभ्यास 11.10.

(क) $2\pi rE_\theta = -\pi r^2\dot B$: अतः भीतर $E_\theta = -r\dot B/2$, बाहर $-R^2\dot B/2r$। (ख) उसकी रेखाएँ बंद वृत्त हैं: वह कोई प्रवणता नहीं है, वह आवेशों को किसी पाश पर घुमाता है — अर्थात् कोई विद्युत्वाहक क्षेत्र। (ग) $e\cdot2\pi r_0 |E_\theta| = e\pi r_0^2\dot B$: प्रति चक्कर $\pi \times 0.25 \times 10 = 7.9\,\mathrm{eV}$; और $2.5 \times 10^6$ चक्कर। (घ) $p = eB(r_0)r_0$ से $\dot p = er_0\dot B(r_0)$, जबकि प्रेरित क्षेत्र $\dot p = e|E_\theta| = e\dot\Phi/2\pi r_0$ देता है: अतः $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 = \tfrac12\langle B\rangle$।

हल — अभ्यास 11.11.

(क) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\Delta\vect E$ (क्योंकि $\operatorname{div} \vect E = 0$) $= -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vect E$। (ख) वही, भूमिकाएँ बदलकर। (ग) $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 3.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (घ) वेबर और कोलराउश ने आवेश के स्थिरवैद्युत और विद्युत्चुंबकीय मात्रकों का अनुपात नापा था, $3.1 \times 10^8$ m/s; और फ़िज़ो ने प्रकाश $3.15 \times 10^8$ m/s पर नापा था: “हम इस निष्कर्ष से मुश्किल से बच सकते हैं कि प्रकाश उसी माध्यम के अनुप्रस्थ आंदोलनों से बना है”।

हल — अभ्यास 11.12.

(क) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\Delta\vect B = \mu_0\gamma\operatorname{\vect{curl}} \vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect B$: अतः $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\partial_t\vect B$, अर्थात् ऊष्मा-समीकरण का रूप, जिसकी विसरणशीलता $1/\mu_0\gamma$ है। (ख) $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$: पट्टी के लिए $7.5\,\mathrm{ms}$; और क्रोड के लिए $4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^5 \times 9 \times 10^{12} = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, अर्थात् दो लाख वर्ष। (ग) $\mu_0\gamma\delta^2 \sim 2/\omega$: अतः $\delta = \sqrt{2/\mu_0 \gamma\omega}$: $50\,\mathrm{Hz}$ पर $9\,\mathrm{mm}$, $1\,\mathrm{MHz}$ पर $65\,\text{µ}\mathrm{m}$। (घ) क्रोड का क्षेत्र विसरण से $10^5$ वर्ष से कम में बदल ही नहीं सकता: अतः प्रेक्षित दीर्घकालिक परिवर्तन और उलटाव चालक तरल की गति माँगते हैं — अर्थात् कोई डायनेमो।