Apa itu Daerah elementer? — Matematika

Definisi 20.11 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 20 — Integral Garis dan Integral Lipat

Sebuah daerah $D \subseteq \R^2$ disebut elementer- $y$ bila

D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}

dengan $\varphi_1 \leq \varphi_2$ yang kontinu pada $[a,b]$ (dan elementer- $x$ : secara simetris). Untuk $f$ yang kontinu pada sebuah daerah elementer- $y$ $D$ ,

\iint_D f = \int_a^b\Bigl( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dd y\Bigr)\dd x ,

lalu kita periksa (lewat memperluas $f$ dengan hujah hampiran, atau lewat pembagian) bahwa ketika $D$ elementer pada kedua arahnya, kedua integral teriterasinya sepakat. Adapun daerah yang terpotong menjadi berhingga banyak keping elementer ditangani lewat keaditifannya, dan luas $D$ adalah $\operatorname {Area}(D) = \iint_D 1$ .

Contoh

Contoh 20.12

Pada segitiga $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$ :

\iint_D xy \,\dd x\,\dd y = \int_0^1 x\Bigl(\int_0^x y\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,\dd x = \frac18 .

Menukar urutannya ( $x$ dari $y$ ke $1$ ): $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — jadi nilai yang sama lewat perhitungan yang berbeda: sehingga memilih urutan pengintegralannya dengan baik adalah separuh keterampilannya.

Contoh 20.13 (Ketika hanya satu urutan yang berhasil)

Hitunglah $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$ . Sebagaimana tertulis, integral dalamnya $\int\eu^{y^2}\dd y$ tak punya antiturunan yang dasar: jadi perhitungannya macet. Tetapi daerahnya adalah segitiga $0 \leq x \leq y \leq 1$ , yang elementer pada kedua arahnya; jadi setelah urutannya ditukar,

I = \int_0^1\!\!\int_0^y \eu^{y^2}\,\dd x\,\dd y = \int_0^1 y\,\eu^{y^2}\,\dd y = \Bigl[\tfrac12\eu^{y^2}\Bigr]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2} .

Sebab peubah dalamnya $x$ tak muncul di mana pun pada integrannya, jadi mengintegralkannya lebih dulu menghasilkan persis faktor $y$ yang membuat integral luarnya seketika. Pelajarannya: Fubini bukan sekadar izin untuk beriterasi — ia izin untuk memilih, dan urutan yang tepat dapat mengubah integral yang mustahil menjadi satu baris. Jadi sketsakanlah selalu daerahnya lalu bacalah kedua pemeriannya sebelum memulai.

Contoh 20.18 (Penggantian peubah yang afin)

Untuk pemetaan afin $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ dengan $M$ yang terbalikkan, Jacobinya adalah matriks tetap $M$ : jadi luasnya dikalikan faktor tetap $\abs{\det M}$ — sehingga janji yang dibuat pada Bab 17 kini menjadi teorema. Ada dua pemakaian seketika. Elips $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ adalah peta cakram satuannya oleh $(u, v) \mapsto (au, bv)$ , jadi luasnya $ab \cdot \pi$ — tanpa perhitungan. Lalu untuk integral $f(x + y)$ atas persegi $K = \intcc01^2$ , geseran $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (yang berdeterminan $1$ ) mengubahnya menjadi integral $f(u)$ atas sebuah jajaran genjang, yang diiris Fubini pada $u$ yang tetap: jadi dengan $f = \exp$ ,

\iint_K \eu^{x+y}\,\dd x\,\dd y = \Bigl(\int_0^1 \eu^x\,\dd x\Bigr)^2 = (\eu - 1)^2,

sebagaimana ditegaskan struktur hasil kalinya. Jadi memilih koordinat yang selaras dengan integrannya — bukan dengan daerahnya — adalah separuh keterampilan yang lain.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait