प्रारंभिक प्रांत क्या है?

उदाहरण 20.12

त्रिभुज $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$ पर:

क्रम बदलने पर ($x$ $y$ से $1$ तक): $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — वही मान, दूसरा परिकलन: समाकलन का क्रम ठीक चुनना आधी कारीगरी है।

उदाहरण 20.13 (जब केवल एक ही क्रम चलता है)

$I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$ परिकलित कीजिए। जैसा लिखा है, भीतरी समाकल $\int\eu^{y^2}\dd y$ का कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज नहीं है: परिकलन अटक जाता है। पर प्रांत त्रिभुज $0 \leq x \leq y \leq 1$ है, जो दोनों दिशाओं में प्रारंभिक है; क्रम बदलने पर,

भीतरी चर $x$ समाकल्य में कहीं आया ही नहीं, अतः उसका पहले समाकलन ठीक वही गुणक $y$ दे देता है जो बाहरी समाकल को तत्काल बना देता है। सार: फ़ूबिनी केवल पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है — वह चुनने की अनुमति है, और सही क्रम किसी असंभव समाकल को एक पंक्ति में बदल सकता है। आरंभ करने से पहले प्रांत का चित्र सदा खींचिए और दोनों वर्णन पढ़ लीजिए।

उदाहरण 20.18 (आनत चर-परिवर्तन)

$M$ प्रतिलोमनीय होने पर किसी आनत प्रतिचित्रण $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ के लिए याकोबी अचर आव्यूह $M$ है: क्षेत्रफल अचर गुणक $\abs{\det M}$ से गुणित हो जाते हैं — अध्याय 17 में किया गया वादा अब प्रमेय है। दो तात्कालिक उपयोग। दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ $(u, v) \mapsto (au, bv)$ के अंतर्गत इकाई चक्रिका का प्रतिबिंब है, अतः उसका क्षेत्रफल $ab \cdot \pi$ है — बिना किसी परिकलन के। और वर्ग $K = \intcc01^2$ पर $f(x + y)$ के समाकल के लिए अपरूपण $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (सारणिक $1$) उसे किसी समांतर चतुर्भुज पर $f(u)$ के समाकल में बदल देता है, जिसे फ़ूबिनी अचर $u$ पर काटता है: $f = \exp$ के साथ,

जैसा गुणनफल संरचना पुष्ट करती है। समाकल्य के अनुकूल निर्देशांक चुनना — प्रांत के अनुकूल नहीं — कारीगरी का दूसरा आधा भाग है।