Apa itu Subruang afin; pemetaan afin? — Matematika

Definisi 17.5 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 17 — Ruang Afin

Sebuah subruang afin adalah himpunan $\mathcal{F} = A + F = \{A + u : u \in F\}$ dengan $F$ sebuah subruang vektor (yakni arahnya); setara dengan itu, sebuah himpunan tak kosong yang stabil terhadap barisentrum. Adapun subruang afin $\R^n$ persis merupakan himpunan penyelesaian sistem linear $MX = B$ (lewat Tahun ke-1: penyelesaian khusus ditambah kernel). Sebuah pemetaan $f \colon \mathcal{E} \to \mathcal{E}'$ disebut afin apabila ia memelihara barisentrum — setara dengan apabila

f(A + u) = f(A) + \varphi(u)

bagi sebuah pemetaan linear (yang tunggal) $\varphi = \vec f$ , yakni bagian linearnya. Pemetaan afin $\R^n$ : yaitu $X \mapsto MX + C$ . Komposisinya bersifat afin dengan bagian linear yang dikomposisikan; dan $f$ bijektif bila dan hanya bila $\vec f$ bijektif.

Contoh

Contoh 17.9 (Menggolongkan sebuah pemetaan afin, dari awal sampai akhir)

Misalkan $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ pada $\R^2$ . Bagian linearnya adalah $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$ , yang spektrumnya $\{2, 3\}$ menghindari $1$ : jadi menurut kriteria titik tetap yang dibuktikan di bawah (Proposisi 17.17), $f$ punya tepat satu titik tetap, yang ditemukan dengan menyelesaikan

x = 2x - 1, \qquad y = 3y - 4 \qquad\Longrightarrow\qquad \Omega = (1, 2).

Setelah dipusatkan ulang di $\Omega$ (tetapkan $x = 1 + u$ , $y = 2 + v$ ):

f(1 + u,\ 2 + v) = (1 + 2u,\ 2 + 3v) :

dalam kerangka di $\Omega$ , $f$ adalah bagian linearnya, yakni sebuah pemuaian anisotropik yang meregang $2$ kali mendatar dan $3$ kali tegak dari pusat $(1, 2)$ . Pelajaran umumnya: sebuah pemetaan afin adalah “pemetaan linear ditambah data lokasi”, dan data lokasinya runtuh menjadi satu titik asal yang terpilih baik setiap kali $1$ bukan nilai eigennya. Sebaliknya, menggeser titik asalnya secara buruk justru menciptakan suku tetapnya: jadi geometri afin adalah seni memilih tempat menaruh $0$ .

Contoh 17.2 (Sebuah ruang afin tanpa titik asal yang alami)

Bidang penyelesaian $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ bukan subruang vektor (sebab $0 \notin \mathcal E$ ), tetapi ia ruang afin yang diarahkan $E = \{x + y + z = 0\}$ : sebab untuk $A, B \in \mathcal E$ selisih $\vect{AB} = B - A$ mendarat di $E$ (karena jumlahnya saling meniadakan), Chasles diwarisi dari $\R^3$ , dan $B \mapsto \vect{AB}$ bijektif ke $E$ . Tak ada titik $\mathcal E$ yang diistimewakan — sebab sembarang pemilihan “titik asal” $O \in \mathcal E$ sama saja berhasil, dan semua pengenalan $M \mapsto \vect{OM}$ hanya berselisih penggeseran. Inilah keadaan yang khas: himpunan penyelesaian masalah linear yang tak homogen (yakni sistem linear, persamaan diferensial linear pada Bab 16) bersifat afin, tak pernah linear, dan slogan “penyelesaian khusus ditambah kernel” persis merupakan pernyataan $\mathcal F = A + F$ pada definisi berikutnya.

Contoh 17.18 (Isometri bidang, dirampungkan)

Sebuah isometri afin bidang Euklides punya bagian linear di $O(2)$ : yakni sebuah perputaran $R_\theta$ atau sebuah pencerminan (lewat jilid Tahun ke-1). Bila $\theta \neq 0$ : maka $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$ , jadi pemetaannya merupakan perputaran terhadap satu pusat yang tunggal (Proposisi 17.17). Bila bagian linearnya sebuah pencerminan: maka entah sebuah pencerminan pada sebuah sumbu (jika titik tetapnya ada) atau sebuah pencerminan geser (yakni pencerminan yang dikomposisikan dengan penggeseran sepanjang sumbunya, tanpa titik tetap). Bersama penggeserannya, inilah penggolongan lengkap isometri bidang.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait