O que é Domínios elementares?

Exemplo 20.12

No triângulo $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$:

Trocando a ordem ($x$ de $y$ a $1$): $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — mesmo valor, cálculo diferente: escolher bem a ordem de integração é metade do ofício.

Exemplo 20.13 (Quando só uma ordem funciona)

Calcule $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$. Como está escrita, a integral interna $\int\eu^{y^2}\dd y$ não tem primitiva elementar: o cálculo trava. Mas o domínio é o triângulo $0 \leq x \leq y \leq 1$, que é elementar nos dois sentidos; trocando a ordem,

A variável interna $x$ não aparecia em lugar algum do integrando, de modo que integrá-la primeiro produziu exatamente o fator $y$ que torna imediata a integral externa. Moral: Fubini não é apenas uma licença para iterar — é uma licença para escolher, e a ordem certa pode transformar uma integral impossível numa única linha. Esboce sempre o domínio e leia as duas descrições antes de começar.

Exemplo 20.18 (Mudanças de variáveis afins)

Para uma aplicação afim $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ com $M$ invertível, o jacobiano é a matriz constante $M$: as áreas são multiplicadas pelo fator constante $\abs{\det M}$ — a promessa feita no Capítulo 17 é agora um teorema. Dois usos imediatos. A elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ é a imagem do disco unitário por $(u, v) \mapsto (au, bv)$, de modo que sua área é $ab \cdot \pi$ — sem cálculo algum. E, para a integral de $f(x + y)$ sobre o quadrado $K = \intcc01^2$, o cisalhamento $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (determinante $1$) a transforma numa integral de $f(u)$ sobre um paralelogramo, que Fubini fatia a $u$ constante: com $f = \exp$,

como a estrutura de produto confirma. Escolher coordenadas adaptadas ao integrando — e não ao domínio — é a outra metade do ofício.