Wat is Elementaire gebieden? — Wiskunde

Definitie 20.11 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 20 — Lijnintegralen en meervoudige integralen

Een gebied $D \subseteq \R^2$ heet $y$ -elementair wanneer

D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}

met $\varphi_1 \leq \varphi_2$ continu op $[a,b]$ ( $x$ -elementair: symmetrisch). Voor $f$ continu op een $y$ -elementair gebied $D$ is

\iint_D f = \int_a^b\Bigl( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dd y\Bigr)\dd x ,

en men gaat na (door $f$ met een benaderingsargument uit te breiden, of door onder te verdelen) dat wanneer $D$ in beide richtingen elementair is, de twee herhaalde integralen overeenstemmen. Gebieden die in eindig veel elementaire stukken worden gesneden, worden met de additiviteit behandeld, en de oppervlakte van $D$ is $\operatorname{Area}(D) = \iint_D 1$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 20.12

Op de driehoek $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$ :

\iint_D xy \,\dd x\,\dd y = \int_0^1 x\Bigl(\int_0^x y\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,\dd x = \frac18 .

De volgorde verwisselen ( $x$ van $y$ tot $1$ ): $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — dezelfde waarde, een andere berekening: de volgorde van integreren goed kiezen is de helft van het vak.

Voorbeeld 20.13 (Wanneer maar één volgorde werkt)

Bereken $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$ . Zoals zij er staat, heeft de binnenste integraal $\int\eu^{y^2}\dd y$ geen elementaire primitieve: de berekening loopt vast. Maar het gebied is de driehoek $0 \leq x \leq y \leq 1$ , die in beide richtingen elementair is; de volgorde verwisselen geeft

I = \int_0^1\!\!\int_0^y \eu^{y^2}\,\dd x\,\dd y = \int_0^1 y\,\eu^{y^2}\,\dd y = \Bigl[\tfrac12\eu^{y^2}\Bigr]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2} .

De binnenste veranderlijke $x$ kwam in de integrand nergens voor, dus haar eerst integreren bracht precies de factor $y$ voort die de buitenste integraal onmiddellijk maakt. Moraal: Fubini is niet alleen een vergunning om te itereren — het is een vergunning om te kiezen, en de juiste volgorde kan van een onmogelijke integraal een regel van één zin maken. Schets altijd het gebied en lees beide beschrijvingen af voordat je begint.

Voorbeeld 20.18 (Affiene veranderingen van veranderlijken)

Voor een affiene afbeelding $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ met $M$ inverteerbaar is de jacobimatrix de constante matrix $M$ : oppervlakten worden vermenigvuldigd met de constante factor $\abs{\det M}$ — de belofte uit Hoofdstuk 17 is nu een stelling. Twee onmiddellijke toepassingen. De ellips $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ is het beeld van de eenheidsschijf onder $(u, v) \mapsto (au, bv)$ , dus is haar oppervlakte $ab \cdot \pi$ — zonder berekening. En voor de integraal van $f(x + y)$ over het vierkant $K = \intcc01^2$ maakt de afschuiving $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (determinant $1$ ) er een integraal van $f(u)$ over een parallellogram van, dat Fubini bij constante $u$ in schijven snijdt: met $f = \exp$ ,

\iint_K \eu^{x+y}\,\dd x\,\dd y = \Bigl(\int_0^1 \eu^x\,\dd x\Bigr)^2 = (\eu - 1)^2,

zoals de productstructuur bevestigt. Coördinaten kiezen die bij de integrand passen — niet bij het gebied — is de andere helft van het vak.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen