¿Qué es Dominios elementales?

Ejemplo 20.12

Sobre el triángulo $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$:

Intercambiando el orden ($x$ de $y$ a $1$): $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$; el mismo valor, otro cálculo: elegir bien el orden de integración es la mitad del oficio.

Ejemplo 20.13 (Cuando solo funciona un orden)

Calculemos $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$. Tal como está escrita, la integral interior $\int\eu^{y^2}\dd y$ no tiene primitiva elemental: el cálculo se atasca. Pero el dominio es el triángulo $0 \leq x \leq y \leq 1$, que es elemental en ambas direcciones; intercambiando el orden,

La variable interior $x$ no aparecía en ninguna parte del integrando, así que integrarla primero produjo exactamente el factor $y$ que hace inmediata la integral exterior. Moraleja: Fubini no es solo una licencia para iterar, sino una licencia para elegir, y el orden correcto puede convertir una integral imposible en una línea. Dibújese siempre el dominio y léanse sus dos descripciones antes de empezar.

Ejemplo 20.18 (Cambios de variables afines)

Para una aplicación afín $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ con $M$ invertible, el jacobiano es la matriz constante $M$: las áreas quedan multiplicadas por el factor constante $\abs{\det M}$; la promesa hecha en el Capítulo 17 es ya un teorema. Dos usos inmediatos. La elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ es la imagen del disco unidad por $(u, v) \mapsto (au, bv)$, de modo que su área es $ab \cdot \pi$, sin cálculo alguno. Y para la integral de $f(x + y)$ sobre el cuadrado $K = \intcc01^2$, la cizalla $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (de determinante $1$) la convierte en una integral de $f(u)$ sobre un paralelogramo, que Fubini rebana a $u$ constante: con $f = \exp$,

como confirma la estructura de producto. Elegir coordenadas adaptadas al integrando —y no al dominio— es la otra mitad del oficio.