Qu'est-ce que « Domaines élémentaires » ?

Exemple 20.12

Sur le triangle $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$ :

En échangeant l’ordre ($x$ allant de $y$ à $1$) : $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — même valeur, calcul différent : bien choisir l’ordre d’intégration, c’est la moitié du métier.

Exemple 20.13 (Quand un seul ordre fonctionne)

Calculons $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$. Telle qu’écrite, l’intégrale intérieure $\int\eu^{y^2}\dd y$ n’a pas de primitive élémentaire : le calcul est bloqué. Mais le domaine est le triangle $0 \leq x \leq y \leq 1$, qui est élémentaire dans les deux directions ; en échangeant l’ordre,

La variable intérieure $x$ n’apparaissait nulle part dans l’intégrande, donc l’intégrer en premier a produit exactement le facteur $y$ qui rend l’intégrale extérieure immédiate. Morale : Fubini n’est pas seulement une autorisation d’itérer — c’est une autorisation de choisir, et le bon ordre peut transformer une intégrale impossible en une ligne. Tracez toujours le domaine et lisez-en les deux descriptions avant de commencer.

Exemple 20.18 (Changements de variables affines)

Pour une application affine $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ avec $M$ inversible, le jacobien est la matrice constante $M$ : les aires sont multipliées par le facteur constant $\abs{\det M}$ — la promesse faite au Chapitre 17 est maintenant un théorème. Deux usages immédiats. L’ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ est l’image du disque unité par $(u, v) \mapsto (au, bv)$, donc son aire est $ab \cdot \pi$ — sans calcul. Et pour l’intégrale de $f(x + y)$ sur le carré $K = \intcc01^2$, la transvection $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (de déterminant $1$) la transforme en une intégrale de $f(u)$ sur un parallélogramme, que Fubini découpe à $u$ constant : avec $f = \exp$,

comme le confirme la structure de produit. Choisir des coordonnées adaptées à l’intégrande — et non au domaine — est l’autre moitié du métier.