Apa itu daerah Euclid?

Contoh 2.15

$\Z$ (dengan $\nu = \abs\cdot$) dan $K[X]$ (dengan $\nu = \deg$) bersifat Euclid — jilid Tahun ke-2 membuktikan kedua pembagian itu. Demikian pula $\Z[\iu]$, dengan $\nu = N$ berupa norma kuadrat (Latihan 2.4); geometri pembuktiannya tampak pada gambar di bawah. DIU yang bukan Euclid memang ada tetapi sulit dipastikan (contoh bakunya adalah $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$); sedangkan DFT yang bukan DIU mudah dicari: $K[X, Y]$ (Latihan 2.6), atau $\Z[X]$.

Contoh 2.20 (Sebuah ring tanpa faktorisasi tunggal)

Tidak satu pun implikasi Euclid $\Rightarrow$ DIU $\Rightarrow$ DFT merupakan kesetaraan, dan kegagalan pada implikasi terakhir layak dilihat sekali secara lengkap. Di dalam

normanya multiplikatif dan $N(z) = 1$ jika dan hanya jika $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Tinjau

Keempat faktornya tak tereduksi: normanya $4, 9, 6, 6$, dan faktorisasi sejati $z = z_1z_2$ akan memaksa $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — padahal $a^2 + 5b^2$ tak pernah sama dengan $2$ atau $3$ ($b = 0$ menyisakan $2, 3$ yang bukan kuadrat; $\abs b \geq 1$ memberikan $\geq 5$). Namun $2$ tidak sekawan dengan $1 \pm \iu\sqrt5$ (normanya $4 \neq 6$): jadi ada dua faktorisasi $6$ atas unsur tak tereduksi yang benar-benar berbeda. Setara dengan itu, di sini tak tereduksi $\neq$ prima: $2$ membagi hasil kali $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ tetapi tidak membagi satu pun faktornya (lihat normanya lagi). Perbaikan kegagalan ini secara ideal — memfaktorkan ideal alih-alih unsur — adalah kelahiran teori bilangan aljabar; pada tingkat kita, contoh ini mengukur betapa istimewanya ring Euclid $\Z$, $K[X]$, $\Z[\iu]$ pada bab ini.