Wat is euclidisch domein? — Wiskunde

Definitie 2.13 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 2 — Ringen en rekenkunde

Een integriteitsdomein $A$ heet:

euclidisch als er een afbeelding $\nu \colon A \setminus \{0\} \to \N$ bestaat (een euclidische functie) zodanig dat er voor alle $a, b$ met $b \ne 0$ een $q$ en een $r$ zijn met $a = bq + r$ en ( $r = 0$ of $\nu(r) < \nu(b)$ );
hoofdideaaldomein (een PID) als elk ideaal van de vorm $(a)$ is;
factorieel (een UFD) als elk element $\neq 0$ dat geen eenheid is, een product van irreducibele elementen is, op de volgorde en op associatie na uniek.

Deling bij de gehele getallen van Gauss: het exacte quotiënt a/b ∈ ℂ ligt op afstand ≤ √2/2 < 1 van een roosterpunt q ∈ ℤ[ ]; dan heeft r = a - bq de norm N(r) = N(b)\,|a/b - q|2 < N(b). Eén euclidische deling, en dus een hele rekenkunde. — Deling bij de gehele getallen van Gauss: het exacte quotiënt $a/b \in \C$ ligt op afstand $\leq \frac{\sqrt2}{2} < 1$ van een roosterpunt $q \in \Z[\iu]$ ; dan heeft $r = a - bq$ de norm $N(r) = N(b)\,\abs{a/b - q}^2 < N(b)$ . Eén euclidische deling, en dus een hele rekenkunde.

Voorbeelden

Voorbeeld 2.15

$\Z$ (met $\nu = \abs\cdot$ ) en $K[X]$ (met $\nu = \deg$ ) zijn euclidisch — het volume van bachelorjaar 2 bewees beide delingen. Ook $\Z[\iu]$ is het, met $\nu = N$ de kwadratische norm (Oefening 2.4); de meetkunde achter het bewijs staat in de figuur hieronder. Een hoofdideaaldomein dat niet euclidisch is bestaat, maar is lastig te certificeren (het standaardvoorbeeld is $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$ ); een UFD dat geen hoofdideaaldomein is, ligt voor het grijpen: $K[X, Y]$ (Oefening 2.6) of $\Z[X]$ .

Voorbeeld 2.20 (Een ring zonder eenduidige ontbinding)

Geen van de implicaties euclidisch $\Rightarrow$ hoofdideaaldomein $\Rightarrow$ UFD is een gelijkwaardigheid, en het falen van de laatste is het waard om één keer helemaal uit te schrijven. In

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

is de norm multiplicatief en geldt $N(z) = 1$ precies wanneer $z \in A^\times = \{\pm1\}$ . Beschouw

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

Alle vier de factoren zijn irreducibel: hun normen zijn $4, 9, 6, 6$ , en een echte ontbinding $z = z_1z_2$ zou $N(z_1) \in \{2, 3\}$ afdwingen — maar $a^2 + 5b^2$ is nooit $2$ of $3$ ( $b = 0$ laat de niet-kwadraten $2, 3$ over; $\abs b \geq 1$ geeft $\geq 5$ ). En toch is $2$ met geen van beide $1 \pm \iu\sqrt5$ geassocieerd (normen $4 \neq 6$ ): twee werkelijk verschillende ontbindingen van $6$ in irreducibele factoren. Gelijkwaardig: hier is irreducibel $\neq$ priem, want $2$ deelt het product $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ maar geen van beide factoren (opnieuw de normen). De ideaaltheoretische reparatie van dit falen — idealen ontbinden in plaats van elementen — is de geboorte van de algebraïsche getaltheorie; op ons niveau ijkt het voorbeeld hoe bijzonder de euclidische ringen $\Z$ , $K[X]$ en $\Z[\iu]$ van dit hoofdstuk werkelijk zijn.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen