Qu'est-ce que « anneau euclidien » ? — Mathématiques

Définition 2.13 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 2 — Anneaux et arithmétique

Un anneau intègre $A$ est :

euclidien s’il existe une application $\nu \colon A \setminus \{0\} \to \N$ (une fonction euclidienne) telle que pour tous $a, b$ avec $b \ne 0$ il existe $q, r$ avec $a = bq + r$ et ( $r = 0$ ou $\nu(r) < \nu(b)$ ) ;
principal (un PID) si tout idéal est de la forme $(a)$ ;
factoriel (un UFD) si tout non nul non inversible est un produit d’irréductibles, unique à l’ordre et aux associés près.

Division dans les entiers de Gauss : le quotient exact a/b ∈ ℂ se trouve à distance ≤ √2/2 < 1 d’un certain point de réseau q ∈ ℤ[ ] ; alors r = a - bq a N(r) = N(b)\,|a/b - q|2 < N(b). Une division euclidienne, donc toute une arithmétique. — Division dans les entiers de Gauss : le quotient exact $a/b \in \C$ se trouve à distance $\leq \frac{\sqrt2}{2} < 1$ d’un certain point de réseau $q \in \Z[\iu]$ ; alors $r = a - bq$ a $N(r) = N(b)\,\abs{a/b - q}^2 < N(b)$ . Une division euclidienne, donc toute une arithmétique.

Exemples

Exemple 2.15

$\Z$ (avec $\nu = \abs\cdot$ ) et $K[X]$ (avec $\nu = \deg$ ) sont euclidiens — les deux divisions ont été établies en deuxième année. De même $\Z[\iu]$ , avec $\nu = N$ la norme carrée (Exercice 2.4) ; la géométrie de la démonstration est dans la figure ci-dessous. Un PID non euclidien existe mais est délicat à certifier (l’exemple standard est $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$ ) ; un UFD qui n’est pas un PID est facile : $K[X, Y]$ (Exercice 2.6), ou $\Z[X]$ .

Exemple 2.20 (Un anneau sans factorisation unique)

Aucune des implications euclidien $\Rightarrow$ PID $\Rightarrow$ UFD n’est une équivalence, et l’échec de la dernière mérite d’être vu une fois en détail complet. Dans

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

la norme est multiplicative et $N(z) = 1$ ssi $z \in A^\times = \{\pm1\}$ . Considérer

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

Les quatre facteurs sont irréductibles : leurs normes sont $4, 9, 6, 6$ , et une factorisation propre $z = z_1z_2$ forcerait $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — or $a^2 + 5b^2$ ne vaut jamais $2$ ni $3$ ( $b = 0$ laisse les non-carrés $2, 3$ ; $\abs b \geq 1$ donne $\geq 5$ ). Pourtant $2$ n’est associé ni à $1 + \iu\sqrt5$ ni à $1 - \iu\sqrt5$ (normes $4 \neq 6$ ) : deux factorisations véritablement différentes de $6$ en irréductibles. De façon équivalente, irréductible $\neq$ premier ici : $2$ divise le produit $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ mais aucun des facteurs (normes encore). La réparation idéelliste de cet échec — factoriser les idéaux plutôt que les éléments — est la naissance de la théorie algébrique des nombres ; à notre niveau, l’exemple calibre à quel point les anneaux euclidiens $\Z$ , $K[X]$ , $\Z[\iu]$ de ce chapitre sont spéciaux.

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Exemples

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