ما معنى حلقة إقليدية؟

مثال 2.15

الحلقة $\Z$ (مع $\nu = \abs\cdot$) والحلقة $K[X]$ (مع $\nu = \deg$) إقليديتان — وقد برهن مجلد السنة الجامعية 2 على القسمتين. وكذلك $\Z[\iu]$ مع $\nu = N$ المعيارَ المربّع (التمرين 2.4)؛ وهندسة البرهان مبيَّنة في الشكل أدناه. وتوجد حلقة مثاليات رئيسية غير إقليدية، لكن إثبات ذلك دقيق (والمثال المعياري هو $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$)؛ أما حلقة تفكيك وحيد ليست رئيسية فمثالها سهل: $K[X, Y]$ (التمرين 2.6)، أو $\Z[X]$.

مثال 2.20 (حلقة بلا تفكيك وحيد)

ليس أيٌّ من الاستلزامين إقليدية $\Rightarrow$ رئيسية $\Rightarrow$ تفكيكية تكافؤًا، ويستحق إخفاق الأخير أن نراه مرة واحدة بكامل تفاصيله. في

يكون المعيار ضربيًا ويتحقق $N(z) = 1$ إذا وفقط إذا كان $z \in A^\times = \{\pm1\}$. لننظر في

جميع العوامل الأربعة غير قابلة للاختزال: فمعاييرها هي $4, 9, 6, 6$، ولو وُجد تفكيك فعلي $z = z_1z_2$ لفُرض $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — لكن $a^2 + 5b^2$ لا يساوي $2$ ولا $3$ أبدًا (فحالة $b = 0$ تترك العددين غير المربّعين $2, 3$؛ وحالة $\abs b \geq 1$ تعطي $\geq 5$). ومع ذلك فإن $2$ ليس مصاحبًا لأيٍّ من $1 \pm \iu\sqrt5$ (لأن المعيارين $4 \neq 6$): أي إن لدينا تفكيكين مختلفين فعلًا للعدد $6$ إلى عناصر غير قابلة للاختزال. وبصيغة مكافئة، غير القابل للاختزال $\neq$ الأولي هنا: إذ يقسم $2$ الجداءَ $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ ولا يقسم أيًّا من العاملين (بالمعايير مرة أخرى). أما الإصلاح المثالي لهذا الإخفاق — أي تفكيك المثاليات بدل تفكيك العناصر — فهو ميلاد نظرية الأعداد الجبرية؛ وفي مستوانا، يُظهر هذا المثال مدى خصوصية الحلقات الإقليدية $\Z$ و $K[X]$ و $\Z[\iu]$ الواردة في هذا الفصل.