O que é domínio euclidiano? — Matemática

Definição 2.13 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 2 — Anéis e aritmética

Um domínio de integridade $A$ é:

euclidiano se existe uma aplicação $\nu \colon A \setminus \{0\} \to \N$ (uma função euclidiana) tal que, para todos $a, b$ com $b \ne 0$ , existem $q, r$ com $a = bq + r$ e ( $r = 0$ ou $\nu(r) < \nu(b)$ );
principal (um DIP) se todo ideal é da forma $(a)$ ;
fatorial (um DFU) se todo elemento não nulo e não inversível é um produto de irredutíveis, único a menos da ordem e de associados.

Divisão nos inteiros de Gauss: o quociente exato a/b ∈ ℂ está a distância no máximo ≤ √2/2 < 1 de algum ponto do reticulado q ∈ ℤ[ ]; então r = a - bq satisfaz N(r) = N(b)\,|a/b - q|2 < N(b). Uma divisão euclidiana e, com ela, toda uma aritmética. — Divisão nos inteiros de Gauss: o quociente exato $a/b \in \C$ está a distância no máximo $\leq \frac{\sqrt2}{2} < 1$ de algum ponto do reticulado $q \in \Z[\iu]$ ; então $r = a - bq$ satisfaz $N(r) = N(b)\,\abs{a/b - q}^2 < N(b)$ . Uma divisão euclidiana e, com ela, toda uma aritmética.

Exemplos

Exemplo 2.15

$\Z$ (com $\nu = \abs\cdot$ ) e $K[X]$ (com $\nu = \deg$ ) são euclidianos — as duas divisões foram demonstradas no volume do segundo ano. O mesmo vale para $\Z[\iu]$ , com $\nu = N$ a norma quadrática (Exercício 2.4); a geometria da demonstração está na figura abaixo. Existe um DIP que não é euclidiano, mas é delicado certificá-lo (o exemplo padrão é $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$ ); um DFU que não é DIP é fácil: $K[X, Y]$ (Exercício 2.6), ou $\Z[X]$ .

Exemplo 2.20 (Um anel sem fatoração única)

Nenhuma das implicações euclidiano $\Rightarrow$ DIP $\Rightarrow$ DFU é uma equivalência, e vale a pena ver ao menos uma vez, em detalhe completo, como a última falha. Em

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

a norma é multiplicativa e $N(z) = 1$ se, e somente se, $z \in A^\times = \{\pm1\}$ . Considere

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

Os quatro fatores são irredutíveis: suas normas são $4, 9, 6, 6$ , e uma fatoração própria $z = z_1z_2$ forçaria $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — mas $a^2 + 5b^2$ nunca vale $2$ nem $3$ ( $b = 0$ deixa os não quadrados $2, 3$ ; $\abs b \geq 1$ dá $\geq 5$ ). E, no entanto, $2$ não é associado a nenhum dos $1 \pm \iu\sqrt5$ (normas $4 \neq 6$ ): duas fatorações genuinamente distintas de $6$ em irredutíveis. De maneira equivalente, aqui irredutível $\neq$ primo: $2$ divide o produto $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ mas não divide nenhum dos fatores (normas, de novo). O reparo desse fracasso pela via dos ideais — fatorar ideais em vez de elementos — é a certidão de nascimento da teoria algébrica dos números; em nosso nível, o exemplo calibra o quanto são especiais os anéis euclidianos $\Z$ , $K[X]$ e $\Z[\iu]$ deste capítulo.

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Exemplos

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