Apa itu unsur sekawan?

Contoh 2.20 (Sebuah ring tanpa faktorisasi tunggal)

Tidak satu pun implikasi Euclid $\Rightarrow$ DIU $\Rightarrow$ DFT merupakan kesetaraan, dan kegagalan pada implikasi terakhir layak dilihat sekali secara lengkap. Di dalam

normanya multiplikatif dan $N(z) = 1$ jika dan hanya jika $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Tinjau

Keempat faktornya tak tereduksi: normanya $4, 9, 6, 6$, dan faktorisasi sejati $z = z_1z_2$ akan memaksa $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — padahal $a^2 + 5b^2$ tak pernah sama dengan $2$ atau $3$ ($b = 0$ menyisakan $2, 3$ yang bukan kuadrat; $\abs b \geq 1$ memberikan $\geq 5$). Namun $2$ tidak sekawan dengan $1 \pm \iu\sqrt5$ (normanya $4 \neq 6$): jadi ada dua faktorisasi $6$ atas unsur tak tereduksi yang benar-benar berbeda. Setara dengan itu, di sini tak tereduksi $\neq$ prima: $2$ membagi hasil kali $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ tetapi tidak membagi satu pun faktornya (lihat normanya lagi). Perbaikan kegagalan ini secara ideal — memfaktorkan ideal alih-alih unsur — adalah kelahiran teori bilangan aljabar; pada tingkat kita, contoh ini mengukur betapa istimewanya ring Euclid $\Z$, $K[X]$, $\Z[\iu]$ pada bab ini.

Contoh 2.26

$X^n - p$ tak tereduksi atas $\Q$ untuk setiap bilangan prima $p$ dan $n \geq 1$ (Eisenstein pada $p$): jadi ada polinomial tak tereduksi berderajat berapa pun atas $\Q$ — sangat berbeda dengan $\C$ (hanya derajat $1$, menurut d’Alembert–Gauss, yang dibuktikan pada Bab 16) dan $\R$ (derajat $1, 2$). Muslihat penggeseran memperluas jangkauan Eisenstein: polinomial siklotomik ke-$p$, yaitu $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$, mempunyai

yang memenuhi Eisenstein pada $p$ (sebab $p \mid \binom pk$ untuk $0 < k < p$, dan $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$): jadi $\Phi_p(X+1)$, dan karenanya $\Phi_p$, tak tereduksi atas $\Q$. Inilah jantung aljabar dari kisah segi-$17$ yang dituturkan pada Bab 4.