Apa itu Ideal?

Contoh 1.27 (FPB polinomial, dua jalan)

Hitung $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ di $\Q[X]$. Lewat Euklides:

jadi FPB-nya $X - 1$, dan penyulihan balik memberi relasi Bézout

Lewat ideal: ideal $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ bersifat utama (Teorema 1.26); ia memuat $X - 1$ (lihat ungkapan di atas) dan termuat di $(X - 1)\Q[X]$ (kedua pembangunnya nol di $1$, jadi keduanya kelipatan $X - 1$): maka pembangun moniknya adalah $X - 1$. Pelajaran penutupnya: sudut pandang ideal mengenali FPB tanpa membagi — akar yang sama-sama dimiliki keduanya menempatkan idealnya, dan Euklides sekadar mengesahkannya.

Contoh 1.34 (Morfisma evaluasi dan kernelnya)

Ambil $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ dan evaluasi $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$, $P \mapsto P(A)$. Karena $A^2 = 0$,

(hanya suku tetap dan suku linear $P$ yang bertahan). Karenanya $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$: sebuah ideal utama, persis seperti diramalkan Teorema 1.26, dibangun oleh $X^2$ yang monik dan berderajat terkecil di dalam kernel — itulah polinomial minimal $A$, bintang Bab 3. Petanya adalah aljabar komutatif berdimensi dua $\{aI + bA\}$: morfisma evaluasi menciutkan $\R[X]$ yang berdimensi tak hingga menjadi aljabar kecil yang terhitungkan.

Contoh 2.20 (Sebuah ring tanpa faktorisasi tunggal)

Tidak satu pun implikasi Euclid $\Rightarrow$ DIU $\Rightarrow$ DFT merupakan kesetaraan, dan kegagalan pada implikasi terakhir layak dilihat sekali secara lengkap. Di dalam

normanya multiplikatif dan $N(z) = 1$ jika dan hanya jika $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Tinjau

Keempat faktornya tak tereduksi: normanya $4, 9, 6, 6$, dan faktorisasi sejati $z = z_1z_2$ akan memaksa $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — padahal $a^2 + 5b^2$ tak pernah sama dengan $2$ atau $3$ ($b = 0$ menyisakan $2, 3$ yang bukan kuadrat; $\abs b \geq 1$ memberikan $\geq 5$). Namun $2$ tidak sekawan dengan $1 \pm \iu\sqrt5$ (normanya $4 \neq 6$): jadi ada dua faktorisasi $6$ atas unsur tak tereduksi yang benar-benar berbeda. Setara dengan itu, di sini tak tereduksi $\neq$ prima: $2$ membagi hasil kali $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ tetapi tidak membagi satu pun faktornya (lihat normanya lagi). Perbaikan kegagalan ini secara ideal — memfaktorkan ideal alih-alih unsur — adalah kelahiran teori bilangan aljabar; pada tingkat kita, contoh ini mengukur betapa istimewanya ring Euclid $\Z$, $K[X]$, $\Z[\iu]$ pada bab ini.