यूक्लिडीय प्रांत क्या है? — गणित

परिभाषा 2.13 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 2 — वलय और अंकगणित

कोई पूर्णांकीय प्रांत $A$ :

यूक्लिडीय कहलाता है यदि कोई ऐसा प्रतिचित्रण $\nu \colon A \setminus \{0\} \to \N$ (एक यूक्लिडीय फलन) हो कि $b \ne 0$ वाले सभी $a, b$ के लिए ऐसे $q, r$ विद्यमान हों जिनके लिए $a = bq + r$ तथा ( $r = 0$ या $\nu(r) < \nu(b)$ );
मुख्य (एक PID) कहलाता है यदि प्रत्येक आदर्श $(a)$ के रूप का हो;
गुणनखंडनीय (एक UFD) कहलाता है यदि प्रत्येक शून्येतर अनैकिक अवयव अखंडनीय अवयवों का गुणनफल हो, और वह भी क्रम तथा सहचारियों तक अद्वितीय रूप से।

गाउसीय पूर्णांकों में विभाजन: यथार्थ भागफल a/b ∈ ℂ किसी जालक बिंदु q ∈ ℤ[ ] से ≤ √2/2 < 1 दूरी के भीतर होता है; तब r = a - bq के लिए N(r) = N(b)\,|a/b - q|2 < N(b)। एक यूक्लिडीय विभाजन, और उससे एक पूरा अंकगणित। — गाउसीय पूर्णांकों में विभाजन: यथार्थ भागफल $a/b \in \C$ किसी जालक बिंदु $q \in \Z[\iu]$ से $\leq \frac{\sqrt2}{2} < 1$ दूरी के भीतर होता है; तब $r = a - bq$ के लिए $N(r) = N(b)\,\abs{a/b - q}^2 < N(b)$ । एक यूक्लिडीय विभाजन, और उससे एक पूरा अंकगणित।

उदाहरण

उदाहरण 2.15

$\Z$ ( $\nu = \abs\cdot$ के साथ) और $K[X]$ ( $\nu = \deg$ के साथ) यूक्लिडीय हैं — दूसरे वर्ष के खंड में दोनों विभाजन सिद्ध हो चुके हैं। $\Z[\iu]$ भी यूक्लिडीय है, जिसमें $\nu = N$ वर्ग-मानक है (अभ्यास 2.4); उपपत्ति की ज्यामिति नीचे के चित्र में है। ऐसा PID जो यूक्लिडीय न हो, विद्यमान तो है पर उसका प्रमाणन नाजुक है (मानक उदाहरण $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$ है); ऐसा UFD जो PID न हो, आसान है: $K[X, Y]$ (अभ्यास 2.6), अथवा $\Z[X]$ ।

उदाहरण 2.20 (अद्वितीय गुणनखंडन के बिना एक वलय)

यूक्लिडीय $\Rightarrow$ PID $\Rightarrow$ UFD में से कोई भी निहितार्थ तुल्यता नहीं है, और अंतिम की विफलता को एक बार पूरे विस्तार से देखना सार्थक है।

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

में मानक गुणनात्मक है और $N(z) = 1$ तभी और केवल तभी जब $z \in A^\times = \{\pm1\}$ । अब

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

पर विचार कीजिए। चारों गुणनखंड अखंडनीय हैं: उनके मानक $4, 9, 6, 6$ हैं, और कोई उचित गुणनखंडन $z = z_1z_2$ $N(z_1) \in \{2, 3\}$ पर विवश कर देता — परंतु $a^2 + 5b^2$ कभी भी $2$ या $3$ के बराबर नहीं होता ( $b = 0$ से अवर्ग $2, 3$ बचते हैं; $\abs b \geq 1$ से $\geq 5$ मिलता है)। फिर भी $2$ $1 \pm \iu\sqrt5$ में से किसी का भी सहचारी नहीं है (मानक $4 \neq 6$ ): अर्थात् $6$ के अखंडनीय अवयवों में दो सर्वथा भिन्न गुणनखंडन। समतुल्य रूप से, यहाँ अखंडनीय $\neq$ अभाज्य: $2$ गुणनफल $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ को विभाजित करता है पर किसी गुणनखंड को नहीं (फिर मानक देखिए)। इस विफलता की आदर्श-सैद्धांतिक मरम्मत — अवयवों के स्थान पर आदर्शों का गुणनखंडन — बीजीय संख्या सिद्धांत का जन्म है; हमारे स्तर पर यह उदाहरण यह आँकने में सहायक है कि इस अध्याय के यूक्लिडीय वलय $\Z$ , $K[X]$ , $\Z[\iu]$ वास्तव में कितने विशिष्ट हैं।

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