Apa itu fungsi terintegralkan? — Matematika

Definisi 10.9 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 10 — Integral Lebesgue

Sebuah $f \colon X \to \R$ (atau $\C$ ) yang terukur disebut terintegralkan jika $\int\abs f\,\dd\mu < \infty$ ; lalu $\int f = \int f^+ - \int f^-$ (yakni bagian positif dan negatifnya; atau bagian real dan imajinernya pada kasus kompleksnya). Integralnya bersifat linear pada fungsi terintegralkan (uraikan lalu gabungkan kembali bagian positifnya; sedangkan kasus kompleksnya menyusut ke kasus realnya) dan memenuhi $\abs{\int f} \leq \int\abs f$ (pada kasus realnya: $\pm\int f = \int(\pm f) \leq \int\abs f$ ; sedangkan pada kasus kompleksnya: kalikan dengan konstanta unimodular agar integralnya menjadi real). Sebuah sifat berlaku hampir di mana-mana jika ia gagal hanya pada himpunan nol- $\mu$ ; dan mengubah $f$ pada himpunan nol tak mengubah integral apa pun (sebab selisihnya didominasi $\infty\cdot\mathbf 1_N$ , yang berintegral $0$ ).

Contoh

Contoh 10.13

Fungsi $\mathbf 1_\Q$ tak kontinu di mana pun: jadi tak terintegralkan Riemann — tetapi trivial bagi Lebesgue: $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda = \lambda(\Q) = 0$ . Fungsi Thomae (yakni $\frac1q$ di bilangan rasional $\frac pq$ dan $0$ selainnya) kontinu tepat di bilangan irasional: sehingga terintegralkan Riemann dengan integral $0$ . Dan integral Riemann tak wajar merupakan gagasan yang berbeda: $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ konvergen sebagai limit $\int_0^A$ (dan soal akhir pekan menghitungnya $= \frac\pi2$ ), padahal $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$ : sebab integral mutlaknya divergen seperti deret harmonik (Latihan 10.6). Jadi teori Lebesgue menukar kekonvergenan bersyarat dengan teorema limit yang tegar.

Contoh 10.16 (Fungsi Gamma)

Untuk $t > 0$ misalkan

\Gamma(t) = \int_0^{+\infty} x^{t-1}\eu^{-x}\,\dd x .

Integralnya konvergen: sebab di dekat $0$ , $x^{t-1}$ terintegralkan (karena $t > 0$ ); sedangkan di tak hingga, $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$ . Pengintegralan parsial (pada $[\varepsilon, A]$ , lalu limitnya lewat kekonvergenan monoton) memberikan persamaan fungsional $\Gamma(t + 1) = t\,\Gamma(t)$ , sehingga $\Gamma(n+1) = n!$ : yakni faktorial yang terinterpolasi. Pada setiap $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$ , $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ terdominasi oleh $\abs{\ln x}(x^{a-1} + x^{b-1})\eu^{-x}$ yang terintegralkan: sehingga $\Gamma$ bersifat $\mathcal C^1$ , dan lewat induksi $\mathcal C^\infty$ , dengan $\Gamma^{(k)}(t) = \int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$ . Sedangkan nilai $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ merupakan integral Gauss yang menyamar (Soal 10.1).

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait