O que é função integrável?

Exemplo 10.13

$\mathbf 1_\Q$ não é contínua em ponto algum: não é Riemann-integrável — mas é trivial para Lebesgue: $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda = \lambda(\Q) = 0$. A função de Thomae ( $\frac1q$ nos racionais $\frac pq$ e $0$ nos demais pontos) é contínua exatamente nos irracionais: é Riemann-integrável com integral $0$. E as integrais de Riemann impróprias são uma noção diferente: $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ converge como limite de $\int_0^A$ (o problema de fim de semana a calcula: $= \frac\pi2$), mas $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$: a integral absoluta diverge como a série harmônica (Exercício 10.6). A teoria de Lebesgue troca a convergência condicional por teoremas de limite robustos.

Exemplo 10.16 (A função Gama)

Para $t > 0$, ponha

A integral converge: perto de $0$, $x^{t-1}$ é integrável ($t > 0$); no infinito, $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$. A integração por partes (em $[\varepsilon, A]$ e, depois, passando ao limite por convergência monótona) dá a equação funcional $\Gamma(t + 1) = t\,\Gamma(t)$, donde $\Gamma(n+1) = n!$: o fatorial interpolado. Em todo $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$, $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ é dominada por $\abs{\ln x}(x^{a-1} + x^{b-1})\eu^{-x}$, integrável: $\Gamma$ é $\mathcal C^1$ e, por indução, $\mathcal C^\infty$, com $\Gamma^{(k)}(t) = \int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$. O valor $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ é a integral gaussiana disfarçada (Problema 10.1).