¿Qué es función integrable?

Ejemplo 10.13

$\mathbf 1_\Q$ no es continua en ningún punto: no es integrable Riemann — pero es trivial para Lebesgue: $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda = \lambda(\Q) = 0$. La función de Thomae ( $\frac1q$ en los racionales $\frac pq$, $0$ en el resto) es continua exactamente en los irracionales: es integrable Riemann con integral $0$. Y las integrales de Riemann impropias son una noción distinta: $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ converge como límite de $\int_0^A$ (el problema de fin de semana la calcula: vale $= \frac\pi2$), pero $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$: la integral absoluta diverge como la serie armónica (el Ejercicio 10.6). La teoría de Lebesgue cambia la convergencia condicional por teoremas de límite robustos.

Ejemplo 10.16 (La función Gamma)

Para $t > 0$, póngase

La integral converge: cerca de $0$, $x^{t-1}$ es integrable ($t > 0$); y en el infinito, $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$. La integración por partes (en $[\varepsilon, A]$ y después el límite por convergencia monótona) da la ecuación funcional $\Gamma(t + 1) = t\,\Gamma(t)$, de donde $\Gamma(n+1) = n!$: el factorial interpolado. En todo $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$, $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ está dominada por $\abs{\ln x}(x^{a-1} + x^{b-1})\eu^{-x}$, que es integrable: $\Gamma$ es $\mathcal C^1$ y, por inducción, $\mathcal C^\infty$, con $\Gamma^{(k)}(t) = \int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$. El valor $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ es la integral gaussiana disfrazada (el Problema 10.1).