Qu'est-ce que « fonction intégrable » ?

Exemple 10.13

$\mathbf 1_\Q$ est nulle part continue : non Riemann-intégrable — mais Lebesgue-triviale : $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda = \lambda(\Q) = 0$. La fonction de Thomae ( $\frac1q$ aux rationnels $\frac pq$, $0$ ailleurs) est continue exactement aux irrationnels : Riemann-intégrable d’intégrale $0$. Et les intégrales de Riemann impropres sont une notion différente : $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ converge comme limite de $\int_0^A$ (le problème du week-end calcule qu’elle vaut $\frac\pi2$), mais $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$ : l’intégrale absolue diverge comme la série harmonique (Exercice 10.6). La théorie de Lebesgue échange la convergence conditionnelle contre des théorèmes de limite robustes.

Exemple 10.16 (La fonction gamma)

Pour $t > 0$ soit

L’intégrale converge : près de $0$, $x^{t-1}$ est intégrable ($t > 0$) ; à l’infini, $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$. L’intégration par parties (sur $[\varepsilon, A]$, puis limites via TCM) donne l’équation fonctionnelle $\Gamma(t + 1) = t\,\Gamma(t)$, d’où $\Gamma(n+1) = n!$ : la factorielle interpolée. Sur tout $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$, $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ est dominé par $\abs{\ln x}(x^{a-1} + x^{b-1})\eu^{-x}$, intégrable : $\Gamma$ est $\mathcal C^1$, et par induction $\mathcal C^\infty$, avec $\Gamma^{(k)}(t) = \int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$. La valeur $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ est l’intégrale gaussienne déguisée (Problème 10.1).