ما معنى دالة قابلة للمكاملة؟

مثال 10.13

الدالة $\mathbf 1_\Q$ غير متصلة في أي نقطة: فهي غير قابلة للمكاملة بمعنى ريمان — لكنها تافهة بمعنى لوبيغ: $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda = \lambda(\Q) = 0$. ودالة توماي ( $\frac1q$ عند الأعداد الناطقة $\frac pq$، و $0$ فيما عدا ذلك) متصلة عند الأعداد الصمّاء بالضبط: فهي قابلة للمكاملة بمعنى ريمان وتكاملها $0$. وأما التكاملات المعتلّة بمعنى ريمان فمفهوم مختلف: إذ يتقارب $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ بوصفه نهايةً للتكاملات $\int_0^A$ (وتحسبه مسألة نهاية الأسبوع $= \frac\pi2$)، لكن $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$: فالتكامل المطلق يتباعد كالمتسلسلة التوافقية (التمرين 10.6). فنظرية لوبيغ تقايض التقارب الشرطي بمبرهنات نهايات متينة.

مثال 10.16 (دالة غاما)

من أجل $t > 0$ نضع

ويتقارب التكامل: فقرب $0$ تكون $x^{t-1}$ قابلة للمكاملة ($t > 0$)؛ وعند اللانهاية $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$. وتعطي المكاملة بالتجزئة (على $[\varepsilon, A]$، ثم بالنهايات عبر مبرهنة التقارب الرتيب) المعادلةَ الدالية $\Gamma(t + 1) = t\,\Gamma(t)$، ومنه $\Gamma(n+1) = n!$: أي العاملي مستوفًى. وعلى كل $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$، يكون $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ مهيمَنًا عليه بالمقدار $\abs{\ln x}(x^{a-1} + x^{b-1})\eu^{-x}$ القابل للمكاملة: ومنه فإن $\Gamma$ من الصنف $\mathcal C^1$، وبالتراجع $\mathcal C^\infty$، مع $\Gamma^{(k)}(t) = \int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$. والقيمة $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ هي التكامل الغاوسي متنكّرًا (المسألة 10.1).