Wat is integreerbare functie?

Voorbeeld 10.13

$\mathbf 1_\Q$ is nergens continu: niet riemann-integreerbaar — maar voor Lebesgue triviaal: $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda = \lambda(\Q) = 0$. De functie van Thomae ($\frac1q$ in de rationale getallen $\frac pq$ en $0$ elders) is precies in de irrationale punten continu: riemann-integreerbaar met integraal $0$. En oneigenlijke riemannintegralen zijn een ander begrip: $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ convergeert als limiet van $\int_0^A$ (de weekendopgave berekent hem als $\frac\pi2$), maar $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$: de absolute integraal divergeert als de harmonische reeks (Oefening 10.6). De theorie van Lebesgue ruilt voorwaardelijke convergentie in voor robuuste limietstellingen.

Voorbeeld 10.16 (De gammafunctie)

Stel voor $t > 0$

De integraal convergeert: nabij $0$ is $x^{t-1}$ integreerbaar ($t > 0$); en in het oneindige is $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$. Partiële integratie (op $[\varepsilon, A]$, met daarna limieten via de monotone convergentie) geeft de functionaalvergelijking $\Gamma(t + 1) = t\,\Gamma(t)$, waaruit $\Gamma(n+1) = n!$: de faculteit geïnterpoleerd. Op elke $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$ wordt $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ gedomineerd door $\abs{\ln x}(x^{a-1} + x^{b-1})\eu^{-x}$, integreerbaar: dus is $\Gamma$ $\mathcal C^1$ en, per inductie, $\mathcal C^\infty$, met $\Gamma^{(k)}(t) = \int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$. De waarde $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ is de gaussische integraal in vermomming (Probleem 10.1).