Apa itu ideal prima?

Contoh 2.5

Di $\Z$: ideal primanya adalah $(0)$ dan semua $(p)$ dengan $p$ prima; yang maksimal adalah $(p)$ (sebab $\Z/p\Z = \mathbb F_p$ lapangan, sedangkan $\Z/(0) = \Z$ bukan). Di $K[X, Y]$: $(X) \subsetneq (X, Y)$ keduanya prima ($K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$ daerah integral; $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$ lapangan), jadi $(X)$ prima tetapi tidak maksimal.

Contoh 2.10

Di $\Z$ dengan $I_k = (m_k)$ dan $m_k$ relatif prima berpasangan: $\Z/(m_1\cdots m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — inilah teorema sisa Tiongkok pada jilid Tahun ke-2. Dibatasi pada unitnya: $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ untuk $\gcd(m,n)=1$, dan dari sini diperoleh kemultiplikatifan fungsi $\varphi$ Euler (Latihan 2.8).