अभाज्य आदर्श क्या है?

उदाहरण 2.5

$\Z$ में: अभाज्य आदर्श $(0)$ और $(p)$ हैं, जहाँ $p$ अभाज्य है; महत्तम आदर्श $(p)$ हैं ($\Z/p\Z = \mathbb F_p$ एक क्षेत्र है, $\Z/(0) = \Z$ नहीं)। $K[X, Y]$ में: $(X) \subsetneq (X, Y)$ दोनों अभाज्य हैं ($K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$, एक प्रांत; $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$, एक क्षेत्र), अतः $(X)$ अभाज्य है पर महत्तम नहीं।

उदाहरण 2.10

$\Z$ में, जहाँ $I_k = (m_k)$ है और $m_k$ जोड़े-जोड़े में सह-अभाज्य हैं: $\Z/(m_1\cdots m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — यही दूसरे वर्ष के खंड की चीनी शेषफल प्रमेय है। इकाइयों तक सीमित करने पर $\gcd(m,n)=1$ के लिए $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$, जिससे ऑयलर के $\varphi$ की गुणनात्मकता निकलती है (अभ्यास 2.8)।