Wat is priemideaal?

Voorbeeld 2.5

In $\Z$ zijn de priemidealen $(0)$ en de $(p)$ met $p$ priem; de maximale zijn de $(p)$ ($\Z/p\Z = \mathbb F_p$ is een lichaam, $\Z/(0) = \Z$ niet). In $K[X, Y]$ zijn $(X) \subsetneq (X, Y)$ beide priem ($K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$, een domein; $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$, een lichaam), zodat $(X)$ priem maar niet maximaal is.

Voorbeeld 2.10

In $\Z$ met $I_k = (m_k)$ en de $m_k$ paarsgewijs onderling ondeelbaar: $\Z/(m_1\cdots m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — de Chinese reststelling uit het volume van bachelorjaar 2. Beperkt tot de eenheden: $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ voor $\gcd(m,n)=1$, waaruit de multiplicativiteit van de functie $\varphi$ van Euler volgt (Oefening 2.8).