Qu'est-ce que « idéal premier » ?

Exemple 2.5

Dans $\Z$ : les idéaux premiers sont $(0)$ et les $(p)$, $p$ premier ; les maximaux sont les $(p)$ ($\Z/p\Z = \mathbb F_p$ est un corps, $\Z/(0) = \Z$ ne l’est pas). Dans $K[X, Y]$ : $(X) \subsetneq (X, Y)$ sont tous deux premiers ($K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$, intègre ; $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$, un corps), donc $(X)$ est premier mais non maximal.

Exemple 2.10

Dans $\Z$ avec $I_k = (m_k)$, $m_k$ deux à deux premiers entre eux : $\Z/(m_1\cdots m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — le théorème des restes chinois vu en deuxième année. En restreignant aux unités : $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ pour $\gcd(m,n)=1$, d’où la multiplicitivité de l’indicatrice d’Euler $\varphi$ (Exercice 2.8).