O que é ideal primo?

Exemplo 2.5

Em $\Z$: os ideais primos são $(0)$ e os $(p)$, com $p$ primo; os maximais são os $(p)$ ($\Z/p\Z = \mathbb F_p$ é um corpo, $\Z/(0) = \Z$ não é). Em $K[X, Y]$: $(X) \subsetneq (X, Y)$ são ambos primos ($K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$, um domínio; $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$, um corpo), de modo que $(X)$ é primo mas não maximal.

Exemplo 2.10

Em $\Z$ com $I_k = (m_k)$ e $m_k$ dois a dois coprimos: $\Z/(m_1\cdots m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — o teorema chinês dos restos do volume do segundo ano. Restringindo às unidades: $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ para $\gcd(m,n)=1$, donde a multiplicatividade da função $\varphi$ de Euler (Exercício 2.8).