ما معنى مثالي أولي؟

مثال 2.5

في $\Z$: المثاليات الأولية هي $(0)$ والمثاليات $(p)$ حيث $p$ أولي؛ والأعظمية منها هي $(p)$ (لأن $\Z/p\Z = \mathbb F_p$ حقل، بينما $\Z/(0) = \Z$ ليس كذلك). وفي $K[X, Y]$: المثاليان $(X) \subsetneq (X, Y)$ أوليان كلاهما (لأن $K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$ حلقة تامة، و $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$ حقل)، ومنه فإن $(X)$ أولي وليس أعظميًا.

مثال 2.10

في $\Z$ مع $I_k = (m_k)$ حيث $m_k$ أولية فيما بينها مثنى مثنى: $\Z/(m_1\cdots m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — وهي مبرهنة الباقي الصيني الواردة في مجلد السنة الجامعية 2. وبالاقتصار على العناصر القابلة للقلب: $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ من أجل $\gcd(m,n)=1$، ومن هنا تأتي ضربية دالة أويلر $\varphi$ (التمرين 2.8).