¿Qué es ideal primo?

Ejemplo 2.5

En $\Z$: los ideales primos son $(0)$ y los $(p)$ con $p$ primo; los maximales son los $(p)$ ($\Z/p\Z = \mathbb F_p$ es un cuerpo, $\Z/(0) = \Z$ no). En $K[X, Y]$: $(X) \subsetneq (X, Y)$ son ambos primos ($K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$, un dominio; $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$, un cuerpo), de modo que $(X)$ es primo pero no maximal.

Ejemplo 2.10

En $\Z$ con $I_k = (m_k)$, $m_k$ coprimos dos a dos: $\Z/(m_1\cdots m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — el teorema chino del resto de segundo año. Restringiendo a las unidades: $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ para $\gcd(m,n)=1$, de donde la multiplicatividad de la $\varphi$ de Euler (Ejercicio 2.8).