Apa itu kandungan polinomial? — Matematika

Definisi 2.22 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 2 — Ring dan Aritmetika

Yang disebut kandungan $c(P)$ dari $P \in A[X]$ yang tak nol adalah FPB koefisiennya (tertentu sampai pada unit); $P$ disebut primitif jika $c(P) \in A^\times$ . Setiap $P \in A[X]$ ditulis $P = c(P)\,P_1$ dengan $P_1$ primitif, dan setiap $P \in K[X]\setminus\{0\}$ ditulis $P = \lambda P_1$ dengan $\lambda \in K^\times$ dan $P_1 \in A[X]$ primitif (samakan penyebutnya, lalu keluarkan kandungannya).

Contoh

Contoh 2.26

$X^n - p$ tak tereduksi atas $\Q$ untuk setiap bilangan prima $p$ dan $n \geq 1$ (Eisenstein pada $p$ ): jadi ada polinomial tak tereduksi berderajat berapa pun atas $\Q$ — sangat berbeda dengan $\C$ (hanya derajat $1$ , menurut d’Alembert–Gauss, yang dibuktikan pada Bab 16) dan $\R$ (derajat $1, 2$ ). Muslihat penggeseran memperluas jangkauan Eisenstein: polinomial siklotomik ke- $p$ , yaitu $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ , mempunyai

\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},

yang memenuhi Eisenstein pada $p$ (sebab $p \mid \binom pk$ untuk $0 < k < p$ , dan $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$ ): jadi $\Phi_p(X+1)$ , dan karenanya $\Phi_p$ , tak tereduksi atas $\Q$ . Inilah jantung aljabar dari kisah segi- $17$ yang dituturkan pada Bab 4.

Baca dalam konteks →