Qu'est-ce que « contenu d'un polynôme » ? — Mathématiques

Définition 2.22 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 2 — Anneaux et arithmétique

Le contenu $c(P)$ d’un $P \neq 0$ de $A[X]$ est un pgcd de ses coefficients (défini à une unité près) ; $P$ est primitif si $c(P) \in A^\times$ . Tout $P \in A[X]$ s’écrit $P = c(P)\,P_1$ avec $P_1$ primitif, et tout $P \in K[X]\setminus\{0\}$ s’écrit $P = \lambda P_1$ avec $\lambda \in K^\times$ et $P_1 \in A[X]$ primitif (chasser les dénominateurs, puis extraire le contenu).

Exemples

Exemple 2.26

$X^n - p$ est irréductible sur $\Q$ pour tout premier $p$ et $n \geq 1$ (Eisenstein en $p$ ) : il existe des polynômes irréductibles de tout degré sur $\Q$ — en contraste frappant avec $\C$ (degré $1$ , d’Alembert–Gauss, démontré dans le Chapitre 16) et $\R$ (degrés $1, 2$ ). Le tour du décalage élargit la portée d’Eisenstein : le $p$ -ième polynôme cyclotomique $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ a

\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},

Eisenstein en $p$ ( $p \mid \binom pk$ pour $0 < k < p$ , et $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$ ) : $\Phi_p(X+1)$ , donc $\Phi_p$ , est irréductible sur $\Q$ . C’est le cœur algébrique de l’histoire du $17$ -gone racontée dans le Chapitre 4.

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