Qu'est-ce que « contenu d'un polynôme » ?

Exemple 2.26

$X^n - p$ est irréductible sur $\Q$ pour tout premier $p$ et $n \geq 1$ (Eisenstein en $p$) : il existe des polynômes irréductibles de tout degré sur $\Q$ — en contraste frappant avec $\C$ (degré $1$, d’Alembert–Gauss, démontré dans le Chapitre 16) et $\R$ (degrés $1, 2$). Le tour du décalage élargit la portée d’Eisenstein : le $p$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ a

Eisenstein en $p$ ($p \mid \binom pk$ pour $0 < k < p$, et $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$) : $\Phi_p(X+1)$, donc $\Phi_p$, est irréductible sur $\Q$. C’est le cœur algébrique de l’histoire du $17$-gone racontée dans le Chapitre 4.