O que é conteúdo de um polinômio? — Matemática

Definição 2.22 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 2 — Anéis e aritmética

O conteúdo $c(P)$ de um $P \in A[X]$ não nulo é um mdc de seus coeficientes (definido a menos de uma unidade); $P$ é primitivo se $c(P) \in A^\times$ . Todo $P \in A[X]$ se escreve $P = c(P)\,P_1$ com $P_1$ primitivo, e todo $P \in K[X]\setminus\{0\}$ se escreve $P = \lambda P_1$ com $\lambda \in K^\times$ e $P_1 \in A[X]$ primitivo (elimine os denominadores e ponha o conteúdo em evidência).

Exemplos

Exemplo 2.26

$X^n - p$ é irredutível sobre $\Q$ para todo primo $p$ e todo $n \geq 1$ (Eisenstein em $p$ ): há polinômios irredutíveis de todos os graus sobre $\Q$ — em contraste flagrante com $\C$ (grau $1$ , d’Alembert–Gauss, demonstrado no Capítulo 16) e com $\R$ (graus $1, 2$ ). O truque da translação amplia o alcance de Eisenstein: o polinômio ciclotômico de índice $p$ , $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ , satisfaz

\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},

que é de Eisenstein em $p$ ( $p \mid \binom pk$ para $0 < k < p$ , e $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$ ): logo $\Phi_p(X+1)$ e, com ele, $\Phi_p$ são irredutíveis sobre $\Q$ . Esse é o coração algébrico da história do $17$ -ágono contada no Capítulo 4.

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