O que é conteúdo de um polinômio?

Exemplo 2.26

$X^n - p$ é irredutível sobre $\Q$ para todo primo $p$ e todo $n \geq 1$ (Eisenstein em $p$): há polinômios irredutíveis de todos os graus sobre $\Q$ — em contraste flagrante com $\C$ (grau $1$, d’Alembert–Gauss, demonstrado no Capítulo 16) e com $\R$ (graus $1, 2$). O truque da translação amplia o alcance de Eisenstein: o polinômio ciclotômico de índice $p$, $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$, satisfaz

que é de Eisenstein em $p$ ($p \mid \binom pk$ para $0 < k < p$, e $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$): logo $\Phi_p(X+1)$ e, com ele, $\Phi_p$ são irredutíveis sobre $\Q$. Esse é o coração algébrico da história do $17$-ágono contada no Capítulo 4.