¿Qué es contenido de un polinomio? — Matemáticas

Definición 2.22 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 2 — Anillos y aritmética

El contenido $c(P)$ de un $P \in A[X]$ no nulo es un máximo común divisor de sus coeficientes (definido salvo unidades); $P$ es primitivo si $c(P) \in A^\times$ . Todo $P \in A[X]$ se escribe $P = c(P)\,P_1$ con $P_1$ primitivo, y todo $P \in K[X]\setminus\{0\}$ se escribe $P = \lambda P_1$ con $\lambda \in K^\times$ y $P_1 \in A[X]$ primitivo (quítense denominadores y sáquese después el contenido).

Ejemplos

Ejemplo 2.26

$X^n - p$ es irreducible sobre $\Q$ para todo primo $p$ y todo $n \geq 1$ (Eisenstein en $p$ ): hay polinomios irreducibles de todos los grados sobre $\Q$ — en marcado contraste con $\C$ (grado $1$ , d’Alembert–Gauss, demostrado en el Capítulo 16) y con $\R$ (grados $1, 2$ ). El truco de trasladar amplía el alcance de Eisenstein: el polinomio ciclotómico $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ de índice $p$ cumple

\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},

Eisenstein en $p$ ( $p \mid \binom pk$ para $0 < k < p$ , y $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$ ): $\Phi_p(X+1)$ , y por tanto $\Phi_p$ , es irreducible sobre $\Q$ . Este es el corazón algebraico de la historia del $17$ -ágono que se cuenta en el Capítulo 4.

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