बहुपद की अंतर्वस्तु क्या है? — गणित

परिभाषा 2.22 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 2 — वलय और अंकगणित

किसी शून्येतर $P \in A[X]$ की अंतर्वस्तु $c(P)$ उसके गुणांकों का एक महत्तम समापवर्तक है (जो किसी इकाई तक परिभाषित है); $P$ आद्य कहलाता है यदि $c(P) \in A^\times$ हो। प्रत्येक $P \in A[X]$ $P_1$ आद्य के साथ $P = c(P)\,P_1$ के रूप में लिखा जाता है, और प्रत्येक $P \in K[X]\setminus\{0\}$ $\lambda \in K^\times$ तथा $P_1 \in A[X]$ आद्य के साथ $P = \lambda P_1$ के रूप में (हर हटाइए, फिर अंतर्वस्तु बाहर निकालिए)।

उदाहरण

उदाहरण 2.26

प्रत्येक अभाज्य $p$ और $n \geq 1$ के लिए $X^n - p$ $\Q$ पर अखंडनीय है ( $p$ पर आइज़ेनश्टाइन): अर्थात् $\Q$ पर प्रत्येक घात के अखंडनीय बहुपद हैं — यह $\C$ (घात $1$ , दालांबेर–गाउस, अध्याय 16 में सिद्ध) और $\R$ (घात $1, 2$ ) से एकदम विपरीत है। विस्थापन की युक्ति आइज़ेनश्टाइन की पहुँच बढ़ा देती है: $p$ -वाँ वृत्तखंडी बहुपद $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ इस प्रकार है

\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},

और $p$ पर आइज़ेनश्टाइन लागू होता है ( $0 < k < p$ के लिए $p \mid \binom pk$ , तथा $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$ ): अतः $\Phi_p(X+1)$ , और इसलिए $\Phi_p$ , $\Q$ पर अखंडनीय है। यही अध्याय 4 में सुनाई गई $17$ -भुज की कथा का बीजीय मर्म है।

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