Wat is inhoud van een veelterm? — Wiskunde

Definitie 2.22 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 2 — Ringen en rekenkunde

De inhoud $c(P)$ van een $P \in A[X]$ met $P \neq 0$ is een grootste gemene deler van haar coëfficiënten (op een eenheid na bepaald); $P$ heet primitief als $c(P) \in A^\times$ . Elke $P \in A[X]$ schrijft zich als $P = c(P)\,P_1$ met $P_1$ primitief, en elke $P \in K[X]\setminus\{0\}$ als $P = \lambda P_1$ met $\lambda \in K^\times$ en $P_1 \in A[X]$ primitief (werk de noemers weg en haal dan de inhoud buiten).

Voorbeelden

Voorbeeld 2.26

$X^n - p$ is irreducibel over $\Q$ voor elk priemgetal $p$ en elke $n \geq 1$ (Eisenstein bij $p$ ): er zijn dus over $\Q$ irreducibele veeltermen van elke graad — in scherp contrast met $\C$ (graad $1$ , d’Alembert–Gauss, bewezen in Hoofdstuk 16) en $\R$ (graden $1$ en $2$ ). De truc van het verschuiven vergroot het bereik van Eisenstein: de $p$ -de cyclotomische veelterm $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ voldoet aan

\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},

en dat is Eisenstein bij $p$ ( $p \mid \binom pk$ voor $0 < k < p$ , en $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$ ): dus is $\Phi_p(X+1)$ , en daarmee $\Phi_p$ , irreducibel over $\Q$ . Dit is het algebraïsche hart van het verhaal over de regelmatige $17$ -hoek in Hoofdstuk 4.

Lees in het hoofdstuk →