Apa itu kurva kutub? — Matematika

Definisi 24.6 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 24 — Kurva Bidang

Sebuah kurva kutub diberikan oleh $r = r(\theta)$ : dengan titik berparameter $\theta$ adalah

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Dengan $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ , kecepatannya adalah

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Akibatnya: di tempat $r \neq 0$ , titiknya reguler, dan garis singgungnya bersudut $V$ dengan sinar garisnya, yang diberikan oleh $\tan V = \frac{r}{r'}$ (yaitu sudut antara $M'$ dan $\vec u$ ); sedangkan di tempat $r(\theta_0) = 0$ , kurvanya lewat titik asalnya dengan garis singgungnya sinar garis $\theta = \theta_0$ (yaitu berarah $\vec u(\theta_0)$ , yang terbaca dari $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , atau dari tali busur limitnya: karena tali busur dari $O$ ke $M(\theta)$ dibawa oleh $\vec u(\theta)$ sendiri, yang menuju $\vec u(\theta_0)$ — sehingga kaidahnya berlaku bahkan ketika $r'(\theta_0) = 0$ dan titiknya singular, dan itulah sebabnya titik runcing kutub di titik asalnya, seperti pada kardioid, memperoleh garis singgungnya secara cuma-cuma).

Mawar berkelopak empat r = 2 (). Adapun kelopak sepanjang sumbu y terjejaki dengan r < 0 (karena titiknya terplot pada sinar garis yang berlawanan dengan ); sedangkan diagonal putus-putus = ± π4 merupakan garis singgung di titik asalnya, tempat r lenyap. — Mawar berkelopak empat $r = \cos 2\theta$ (Latihan 24.4). Adapun kelopak sepanjang sumbu $y$ terjejaki dengan $r < 0$ (karena titiknya terplot pada sinar garis yang berlawanan dengan $\theta$ ); sedangkan diagonal putus-putus $\theta = \pm\frac\pi4$ merupakan garis singgung di titik asalnya, tempat $r$ lenyap.

Kardioid r = 1 +. Kurva kutub dibaca dengan menyapu sudutnya: karena jari-jarinya membengkak dan menyusut ketika berputar. — Kardioid $r = 1 + \cos\theta$ . Kurva kutub dibaca dengan menyapu sudutnya: karena jari-jarinya membengkak dan menyusut ketika $\theta$ berputar.

Contoh

Contoh 24.7 (Kardioid)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Kesetangkupannya: $r(-\theta) = r(\theta)$ : yaitu pencerminan pada sumbu $x$ ; jadi pelajarilah $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . Adapun $r$ menurun dari $2$ ke $0$ ; dan di $\theta = \pi$ , $r = 0$ : sehingga kurvanya mencapai titik asalnya secara menyinggung sinar garis $\theta = \pi$ (yaitu sumbu $x$ ), lalu membentuk titik runcing di situ — yakni ujung hatinya. Sedangkan garis singgung di $\theta = 0$ : $r' = 0$ , sehingga $\tan V = \infty$ : jadi tegak lurus sumbunya.

Adapun sudut $V$ pantas dibaca sekali lagi. Di $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ dan $r' = -1$ , sehingga $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : jadi garis singgungnya bersudut tiga perempat sudut siku dengan sinar garis yang keluar — karena kurvanya sudah membengkok kembali menuju titik runcingnya. Rumus $\tan V = r/r'$ menyampaikan arah singgungnya sepanjang seluruh kurvanya tanpa perhitungan $M'(\theta)$ sama sekali: jadi ia padanan kutub bagi membaca sebuah kemiringan.

Contoh 24.8 (Kutub ke kartesius: sebuah lingkaran yang tersembunyi)

Apakah kurva kutub $r = 2\cos\theta$ itu? Kalikanlah dengan $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , yaitu $x^2 + y^2 = 2x$ , yakni

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

yaitu lingkaran berpusat $(1, 0)$ dan berjari-jari $1$ , yang lewat titik asalnya. Pembukuannya penting: karena ketika $\theta$ menjelajahi $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ seluruh lingkarannya tersapu tepat sekali ( $r$ lenyap pada kedua ujungnya), dan di $\theta = \pm\frac\pi2$ kaidah “garis singgung di titik asalnya sepanjang sinar garis $\theta = \theta_0$ ” memberikan garis singgung yang tegak di situ — yang cocok dengan geometrinya, karena sumbu tegaknya memang menyinggung lingkaran ini di $O$ . Untuk $\theta$ di luar jangkauan itu, $r < 0$ menjejaki ulang lingkaran yang sama: yaitu pengingat bahwa kurva kutub merupakan objek yang terparameter, yang boleh melintasi dirinya sendiri.

Baca dalam konteks →