ما معنى منحن قطبي؟

مثال 24.7 (القلبية)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$. والتناظر: $r(-\theta) = r(\theta)$: أي انعكاس في محور $x$؛ فادرس $\theta \in \intcc{0}{\pi}$. ويتناقص $r$ من $2$ إلى $0$؛ وعند $\theta = \pi$، $r = 0$: فيبلغ المنحني المبدأ ماسًّا لنصف القطر $\theta = \pi$ (وهو محور $x$)، مكوّنًا نقطة ارتداد هناك — أي رأس القلب. والمماس عند $\theta = 0$: $r' = 0$، ومنه $\tan V = \infty$: أي عمودي على المحور.

وتستحق الزاوية $V$ قراءة أخرى. فعند $\theta = \frac\pi2$: $r = 1$ و $r' = -1$، ومنه $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$: أي إن المماس يصنع ثلاثة أرباع الزاوية القائمة مع نصف القطر الخارج — فالمنحني ينثني أصلًا عائدًا نحو نقطة ارتداده. وتعطي الصيغة $\tan V = r/r'$ اتجاهات المماس على امتداد المنحني كله دون أيّ حساب للمقدار $M'(\theta)$ أصلًا: فهي النظير القطبي لقراءة ميل.

مثال 24.8 (من القطبي إلى الديكارتي: دائرة مستترة)

ما هو المنحني القطبي $r = 2\cos\theta$؟ اضرب في $r$: $r^2 = 2r\cos\theta$، أي $x^2 + y^2 = 2x$، أي

أي الدائرة ذات المركز $(1, 0)$ ونصف القطر $1$، المارّة بالمبدأ. ومسك الدفاتر مهمّ: فبينما يجري $\theta$ على $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ تُمسح الدائرة كلها مرة واحدة بالضبط (لأن $r$ ينعدم عند الطرفين)، وعند $\theta = \pm\frac\pi2$ تعطي القاعدة «المماس عند المبدأ على امتداد نصف القطر $\theta = \theta_0$» مماسًا عموديًا هناك — مطابقًا للهندسة، لأن المحور العمودي ماسٌّ فعلًا لهذه الدائرة عند $O$. وأمّا من أجل $\theta$ بعد ذلك المجال، فإن $r < 0$ يعيد رسم الدائرة نفسها: وهو تذكير بأن المنحني القطبي غرضٌ معلَّمي، مسموحٌ له بالمرور فوق نفسه.