O que é curva polar? — Matemática

Definição 24.6 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 24 — Curvas Planas

Uma curva polar é dada por $r = r(\theta)$ : o ponto de parâmetro $\theta$ é

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Com $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ , a velocidade é

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Consequências: onde $r \neq 0$ , o ponto é regular, e a tangente faz com o raio o ângulo $V$ dado por $\tan V = \frac{r}{r'}$ (ângulo entre $M'$ e $\vec u$ ); onde $r(\theta_0) = 0$ , a curva passa pela origem com tangente o raio $\theta = \theta_0$ (direção $\vec u(\theta_0)$ , lida em $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , ou a partir da corda limite: a corda de $O$ a $M(\theta)$ é carregada pelo próprio $\vec u(\theta)$ , que tende a $\vec u(\theta_0)$ — de modo que a regra vale mesmo quando $r'(\theta_0) = 0$ e o ponto é singular, razão pela qual as cúspides polares na origem, como a da cardioide, ganham a sua tangente de graça).

A rosácea de quatro pétalas r = 2 (o ). As pétalas ao longo do eixo y são traçadas com r < 0 (o ponto é marcado no raio oposto a ); as diagonais tracejadas = ± π4 são as tangentes na origem, onde r se anula. — A rosácea de quatro pétalas $r = \cos 2\theta$ (o Exercício 24.4). As pétalas ao longo do eixo $y$ são traçadas com $r < 0$ (o ponto é marcado no raio oposto a $\theta$ ); as diagonais tracejadas $\theta = \pm\frac\pi4$ são as tangentes na origem, onde $r$ se anula.

A cardioide r = 1 +. As curvas polares leem-se varrendo o ângulo: o raio incha e encolhe à medida que gira. — A cardioide $r = 1 + \cos\theta$ . As curvas polares leem-se varrendo o ângulo: o raio incha e encolhe à medida que $\theta$ gira.

Exemplos

Exemplo 24.7 (A cardioide)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Simetria: $r(-\theta) = r(\theta)$ : reflexão no eixo $x$ ; estude $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . $r$ decresce de $2$ a $0$ ; em $\theta = \pi$ , $r = 0$ : a curva atinge a origem tangencialmente ao raio $\theta = \pi$ (o eixo $x$ ), formando ali uma cúspide — a ponta do coração. Tangente em $\theta = 0$ : $r' = 0$ , logo $\tan V = \infty$ : perpendicular ao eixo.

O ângulo $V$ merece mais uma leitura. Em $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ e $r' = -1$ , logo $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : a tangente faz três quartos de um ângulo reto com o raio que sai — a curva já está dobrando de volta rumo à sua cúspide. A fórmula $\tan V = r/r'$ entrega direções tangentes ao longo de toda a curva sem calcular $M'(\theta)$ coisa alguma: é o análogo polar de ler um coeficiente angular.

Exemplo 24.8 (De polar a cartesiana: um círculo escondido)

O que é a curva polar $r = 2\cos\theta$ ? Multiplique por $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , isto é, $x^2 + y^2 = 2x$ , isto é,

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

o círculo de centro $(1, 0)$ e raio $1$ , que passa pela origem. A contabilidade importa: quando $\theta$ percorre $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , o círculo inteiro é varrido exatamente uma vez ( $r$ anula-se nas duas extremidades), e em $\theta = \pm\frac\pi2$ a regra “tangente na origem ao longo do raio $\theta = \theta_0$ ” dá ali uma tangente vertical — coerente com a geometria, já que o eixo vertical é de fato tangente a este círculo em $O$ . Para $\theta$ além desse intervalo, $r < 0$ percorre de novo o mesmo círculo: um lembrete de que uma curva polar é um objeto parametrizado, autorizado a passar por cima de si mesmo.

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