Qu'est-ce que « courbe en polaires » ? — Mathématiques

Définition 24.6 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 24 — Courbes planes

Une courbe en polaires est donnée par $r = r(\theta)$ : le point de paramètre $\theta$ est

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Avec $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ , la vitesse est

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Conséquences : là où $r \neq 0$ , le point est régulier, et la tangente fait avec le rayon vecteur l’angle $V$ donné par $\tan V = \frac{r}{r'}$ (angle entre $M'$ et $\vec u$ ) ; là où $r(\theta_0) = 0$ , la courbe passe par l’origine avec pour tangente le rayon $\theta = \theta_0$ (direction $\vec u(\theta_0)$ , lue sur $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , ou sur la corde limite : la corde de $O$ à $M(\theta)$ est portée par $\vec u(\theta)$ lui-même, qui tend vers $\vec u(\theta_0)$ — la règle vaut donc même lorsque $r'(\theta_0) = 0$ et que le point est singulier, ce qui explique pourquoi les points de rebroussement polaires à l’origine, comme celui de la cardioïde, obtiennent leur tangente gratuitement).

La rose à quatre pétales r = 2 (). Les pétales le long de l’axe des y sont tracés avec r < 0 (le point se place sur le rayon opposé à ) ; les diagonales en pointillés = ± π4 sont les tangentes à l’origine, où r s’annule. — La rose à quatre pétales $r = \cos 2\theta$ (Exercice 24.4). Les pétales le long de l’axe des $y$ sont tracés avec $r < 0$ (le point se place sur le rayon opposé à $\theta$ ) ; les diagonales en pointillés $\theta = \pm\frac\pi4$ sont les tangentes à l’origine, où $r$ s’annule.

La cardioïde r = 1 +. Les courbes en polaires se lisent en balayant l’angle : le rayon enfle et diminue à mesure que tourne. — La cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ . Les courbes en polaires se lisent en balayant l’angle : le rayon enfle et diminue à mesure que $\theta$ tourne.

Exemples

Exemple 24.7 (La cardioïde)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Symétrie : $r(-\theta) = r(\theta)$ : réflexion par rapport à l’axe des $x$ ; on étudie $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . $r$ décroît de $2$ à $0$ ; en $\theta = \pi$ , $r = 0$ : la courbe atteint l’origine tangentiellement au rayon $\theta = \pi$ (l’axe des $x$ ), y formant un point de rebroussement — la pointe du cœur. Tangente en $\theta = 0$ : $r' = 0$ , donc $\tan V = \infty$ : perpendiculaire à l’axe.

L’angle $V$ mérite une lecture de plus. En $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ et $r' = -1$ , donc $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : la tangente fait les trois quarts d’un angle droit avec le rayon sortant — la courbe s’infléchit déjà vers son point de rebroussement. La formule $\tan V = r/r'$ fournit les directions tangentes tout au long de la courbe sans aucun calcul de $M'(\theta)$ : c’est l’analogue polaire de la lecture d’une pente.

Exemple 24.8 (Des polaires aux cartésiennes : un cercle caché)

Quelle est la courbe en polaires $r = 2\cos\theta$ ? Multiplions par $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , c’est-à-dire $x^2 + y^2 = 2x$ , c’est-à-dire

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

le cercle de centre $(1, 0)$ et de rayon $1$ , passant par l’origine. La comptabilité importe : lorsque $\theta$ parcourt $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , le cercle entier est décrit exactement une fois ( $r$ s’annule aux deux bornes), et en $\theta = \pm\frac\pi2$ la règle « tangente à l’origine le long du rayon $\theta = \theta_0$ » y donne une tangente verticale — en accord avec la géométrie, puisque l’axe vertical est bien tangent à ce cercle en $O$ . Pour $\theta$ au-delà de cet intervalle, $r < 0$ redécrit le même cercle : rappel qu’une courbe en polaires est un objet paramétré, autorisé à repasser sur lui-même.

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