Wat is poolkromme? — Wiskunde

Definitie 24.6 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 24 — Vlakke krommen

Een poolkromme wordt gegeven door $r = r(\theta)$ : het punt met parameter $\theta$ is

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Met $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ is de snelheid

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Gevolgen: waar $r \neq 0$ is het punt regulier, en maakt de raaklijn met de voerstraal de hoek $V$ gegeven door $\tan V = \frac{r}{r'}$ (de hoek tussen $M'$ en $\vec u$ ); waar $r(\theta_0) = 0$ gaat de kromme door de oorsprong met als raaklijn de voerstraal $\theta = \theta_0$ (richting $\vec u(\theta_0)$ , af te lezen uit $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , of uit de limietkoorde: de koorde van $O$ naar $M(\theta)$ wordt gedragen door $\vec u(\theta)$ zelf, dat naar $\vec u(\theta_0)$ nadert — zodat de regel zelfs geldt wanneer $r'(\theta_0) = 0$ en het punt singulier is, en daarom krijgen pool-keerpunten in de oorsprong, zoals dat van de cardioïde, hun raaklijn gratis).

De roos met vier bladen r = 2 (). De bladen langs de y-as worden met r < 0 getekend (het punt wordt afgezet op de voerstraal tegenover ); de gestreepte diagonalen = ± π4 zijn de raaklijnen in de oorsprong, waar r nul wordt. — De roos met vier bladen $r = \cos 2\theta$ (Oefening 24.4). De bladen langs de $y$ -as worden met $r < 0$ getekend (het punt wordt afgezet op de voerstraal tegenover $\theta$ ); de gestreepte diagonalen $\theta = \pm\frac\pi4$ zijn de raaklijnen in de oorsprong, waar $r$ nul wordt.

De cardioïde r = 1 +. Poolkrommen leest men door de hoek rond te vegen: de straal zwelt en krimpt naarmate draait. — De cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ . Poolkrommen leest men door de hoek rond te vegen: de straal zwelt en krimpt naarmate $\theta$ draait.

Voorbeelden

Voorbeeld 24.7 (De cardioïde)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Symmetrie: $r(-\theta) = r(\theta)$ : spiegeling in de $x$ -as; bestudeer $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . $r$ daalt van $2$ tot $0$ ; bij $\theta = \pi$ is $r = 0$ : de kromme bereikt de oorsprong rakend aan de voerstraal $\theta = \pi$ (de $x$ -as), en vormt daar een keerpunt — de punt van het hart. Raaklijn bij $\theta = 0$ : $r' = 0$ , dus $\tan V = \infty$ : loodrecht op de as.

De hoek $V$ verdient nog één lezing. Bij $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ en $r' = -1$ , dus $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : de raaklijn maakt drie kwart van een rechte hoek met de uitgaande voerstraal — de kromme buigt al terug naar haar keerpunt. De formule $\tan V = r/r'$ levert langs de hele kromme de raakrichtingen zonder ook maar één berekening van $M'(\theta)$ : zij is het poolanalogon van het aflezen van een helling.

Voorbeeld 24.8 (Van pool naar cartesisch: een verborgen cirkel)

Wat is de poolkromme $r = 2\cos\theta$ ? Vermenigvuldig met $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , dus $x^2 + y^2 = 2x$ , dus

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

de cirkel met middelpunt $(1, 0)$ en straal $1$ , die door de oorsprong gaat. De boekhouding doet ertoe: terwijl $\theta$ $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ doorloopt, wordt de hele cirkel precies één keer bestreken ( $r$ wordt nul in beide uiteinden), en bij $\theta = \pm\frac\pi2$ geeft de regel “raaklijn in de oorsprong langs de voerstraal $\theta = \theta_0$ ” daar een verticale raaklijn — in overeenstemming met de meetkunde, want de verticale as raakt deze cirkel inderdaad in $O$ . Voor $\theta$ buiten dat bereik doorloopt $r < 0$ dezelfde cirkel opnieuw: een herinnering dat een poolkromme een geparametriseerd object is, dat over zichzelf heen mag gaan.

Lees in het hoofdstuk →