ध्रुवीय वक्र क्या है? — गणित

परिभाषा 24.6 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 24 — समतल वक्र

ध्रुवीय वक्र $r = r(\theta)$ से दिया जाता है: प्राचल $\theta$ वाला बिंदु है

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

$\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ के साथ वेग है

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

परिणाम: जहाँ $r \neq 0$ , वहाँ बिंदु नियमित है, और स्पर्शरेखा किरण के साथ $V$ कोण बनाती है, जो $\tan V = \frac{r}{r'}$ से मिलता है ( $M'$ और $\vec u$ के बीच का कोण); और जहाँ $r(\theta_0) = 0$ , वहाँ वक्र मूल बिंदु से होकर जाता है और स्पर्शरेखा किरण $\theta = \theta_0$ होती है (दिशा $\vec u(\theta_0)$ , जो $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ से पढ़ ली जाती है, अथवा सीमांत जीवा से: $O$ से $M(\theta)$ तक की जीवा को स्वयं $\vec u(\theta)$ ढोता है, जो $\vec u(\theta_0)$ की ओर जाता है — अतः यह नियम तब भी लागू रहता है जब $r'(\theta_0) = 0$ हो और बिंदु विचित्र हो, और इसीलिए मूल बिंदु पर के ध्रुवीय उभयाग्रों को, जैसे कार्डियॉयड के उभयाग्र को, उनकी स्पर्शरेखा मुफ़्त में मिल जाती है)।

चार पंखुड़ियों वाला गुलाब r = 2 ()। y-अक्ष के अनुदिश की पंखुड़ियाँ r < 0 के साथ खिंचती हैं (बिंदु की विपरीत किरण पर अंकित होता है); और बिंदुदार विकर्ण = ± π4 मूल बिंदु पर की स्पर्शरेखाएँ हैं, जहाँ r शून्य होता है। — चार पंखुड़ियों वाला गुलाब $r = \cos 2\theta$ (अभ्यास 24.4)। $y$ -अक्ष के अनुदिश की पंखुड़ियाँ $r < 0$ के साथ खिंचती हैं (बिंदु $\theta$ की विपरीत किरण पर अंकित होता है); और बिंदुदार विकर्ण $\theta = \pm\frac\pi4$ मूल बिंदु पर की स्पर्शरेखाएँ हैं, जहाँ $r$ शून्य होता है।

कार्डियॉयड r = 1 +। ध्रुवीय वक्र कोण को बुहारते हुए पढ़े जाते हैं: के घूमने के साथ त्रिज्या फूलती और सिकुड़ती है। — कार्डियॉयड $r = 1 + \cos\theta$ । ध्रुवीय वक्र कोण को बुहारते हुए पढ़े जाते हैं: $\theta$ के घूमने के साथ त्रिज्या फूलती और सिकुड़ती है।

उदाहरण

उदाहरण 24.7 (कार्डियॉयड)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . सममिति: $r(-\theta) = r(\theta)$ : $x$ -अक्ष में परावर्तन; अतः $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ का अध्ययन कीजिए। $r$ $2$ से घटकर $0$ तक आता है; $\theta = \pi$ पर $r = 0$ : वक्र किरण $\theta = \pi$ ( $x$ -अक्ष) के स्पर्शतः मूल बिंदु तक पहुँचता है और वहाँ एक उभयाग्र बनाता है — हृदय की नोक। $\theta = 0$ पर स्पर्शरेखा: $r' = 0$ , अतः $\tan V = \infty$ : अक्ष के लंबवत।

कोण $V$ एक और पाठ का हक़दार है। $\theta = \frac\pi2$ पर: $r = 1$ और $r' = -1$ , अतः $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : स्पर्शरेखा बाहर जाती किरण के साथ समकोण का तीन-चौथाई बनाती है — अर्थात् वक्र पहले ही अपने उभयाग्र की ओर मुड़ने लगा है। सूत्र $\tan V = r/r'$ पूरे वक्र के अनुदिश स्पर्श-दिशाएँ दे देता है, और वह भी $M'(\theta)$ की कोई संगणना किए बिना: यह प्रवणता पढ़ने का ध्रुवीय समकक्ष है।

उदाहरण 24.8 (ध्रुवीय से कार्तीय: एक छिपा वृत्त)

ध्रुवीय वक्र $r = 2\cos\theta$ क्या है? $r$ से गुणा कीजिए: $r^2 = 2r\cos\theta$ , अर्थात् $x^2 + y^2 = 2x$ , यानी

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

अर्थात् केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $1$ वाला वह वृत्त जो मूल बिंदु से होकर जाता है। लेखा-जोखा महत्त्वपूर्ण है: जैसे-जैसे $\theta$ $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर चलता है, पूरा वृत्त ठीक एक बार बुहार लिया जाता है ( $r$ दोनों सिरों पर शून्य होता है), और $\theta = \pm\frac\pi2$ पर नियम “मूल बिंदु पर स्पर्शरेखा किरण $\theta = \theta_0$ के अनुदिश” वहाँ ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा देता है — जो ज्यामिति से मेल खाता है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर अक्ष सचमुच $O$ पर इस वृत्त की स्पर्शरेखा है। उस परास के बाहर $\theta$ के लिए $r < 0$ उसी वृत्त को फिर से खींच देता है: यह स्मरण कि ध्रुवीय वक्र एक प्राचलित वस्तु है, जिसे स्वयं के ऊपर से गुज़रने की छूट है।

अध्याय में पढ़ें →